東北大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
放物線 $C:y=x^2$ の点 $P(a,a^2)$ における接線の傾きは $2a$ である。

$a\mathrm{\ne }0$ のとき，この接線に直交する直線 $l$ の傾きは $-{\displaystyle \frac{1}{2a}}$ である。したがって $l$ は $P(a,a^2)$ を通り，$y-a^2=-{\displaystyle \frac{1}{2a}}(x-a)$ と表される。両辺に $2a$ を掛けると $2ay-2a^3=-x+a$ であるから $x+2ay-2a^3-a=0$ である。

$a=0$ のとき，接線の傾きは0であり，接線は $x$ 軸に平行である。これに直交し，$P=(0,0)$ を通る直線は $x=0$ である。

(2)
以下 $a\mathrm{\ne }0$ とする。直線 $x=a$ は点 $P(a,a^2)$ を通り，その方向ベクトルは $\vec{v}=(0,1)$ である。また，(1) の法線 $l$ の方向ベクトルとして $\vec{u}=(2a,-1)$ を取ることができる。

$\vec{v}$ を $\vec{u}$ の方向に関して対称に移したベクトルを求める。射影を用いると，反射後のベクトルは $2{\displaystyle \frac{\vec{v}\cdot \vec{u}}{\vec{u}\cdot \vec{u}}}\vec{u}-\vec{v}$ である。ここで $$\vec{v}\cdot \vec{u}=-1,\vec{u}\cdot \vec{u}=4a^2+1$$ だから，反射後の方向ベクトルは$$2\frac{-1}{4a^2+1}(2a,-1)-(0,1)=(-\frac{4a}{4a^2+1},\frac{1-4a^2}{4a^2+1})\mathrm{.}$$したがって直線 $m$ の傾きは $${\displaystyle \frac{(1-4a^2)\mathrm{/}(4a^2+1)}{-4a\mathrm{/}(4a^2+1)}}={\displaystyle \frac{4a^2-1}{4a}}$$ である。

また，折り返しの軸 $l$ は $P$ を通り，直線 $x=a$ も $P$ を通るので，折り返された直線 $m$ も $P$ を通る。よって $$y-a^2={\displaystyle \frac{4a^2-1}{4a}}(x-a)$$ である。

(3)
(2) の式を整理する。 $$y-a^2=(a-{\displaystyle \frac{1}{4a}})(x-a)$$ であるから $$y=(a-{\displaystyle \frac{1}{4a}})x-a(a-{\displaystyle \frac{1}{4a}})+a^2\mathrm{.}$$ 定数項は $$-a^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}+a^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。したがって $$m:y=(a-{\displaystyle \frac{1}{4a}})x+{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。

この式から，$a$ の値によらず $x=0$ のとき $y={\displaystyle \frac{1}{4}}$ となる。よってすべての $m$ は定点 $F(0,{\displaystyle \frac{1}{4}})$ を通る。

法線と折り返しの位置関係

$x=a$ を法線 $l$ で折り返した直線 $m$ は、常に $F$ を通る。