東北大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

$u\geqq 0$ に対して$$\int \frac{\cos u}{1+\sin u}du=\log (1+\sin u)$$であることを用いる。

まず $0\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}2$ とする。このとき積分区間を $t=x$ で分けると$$f(x)={\int }_0^x\frac{\cos (x-t)}{1+\sin (x-t)}dt+{\int }_x^{\pi \mathrm{/}2}\frac{\cos (t-x)}{1+\sin (t-x)}dt$$である。変数をそれぞれ $u=x-t$、$u=t-x$ とすれば$$f(x)={\int }_0^x\frac{\cos u}{1+\sin u}du+{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2-x}\frac{\cos u}{1+\sin u}du$$である。したがって $$f(x)=\log (1+\sin x)+\log (1+\cos x)$$ すなわち $$f(x)=\log \{(1+\sin x)(1+\cos x)\}$$ である。この範囲で $$(1+\sin x)(1+\cos x)=1+\sin x+\cos x+\sin x\cos x$$ は $x=\pi \mathrm{/}4$ で最大となる。実際、$\sin x+\cos x$ と $\sin x\cos x$ はともに $x=\pi \mathrm{/}4$ で最大である。よってこの範囲の最大値は$$\log \left\{{(1+\frac{\sqrt{2}}{2})}^2\right\}=\log (\frac{3}{2}+\sqrt{2})$$である。端点 $x=0,\pi \mathrm{/}2$ では値は $\log 2$ である。

次に $\pi \mathrm{/}2\leqq x\leqq \pi$ とする。このとき $$0\leqq t\leqq \pi \mathrm{/}2\leqq x$$ なので $\mathrm{\mid }t-x\mathrm{\mid }=x-t$ である。したがって$$f(x)={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\frac{\cos (x-t)}{1+\sin (x-t)}dt={\int }_{x-\pi \mathrm{/}2}^x\frac{\cos u}{1+\sin u}du$$である。よって $$f(x)=\log (1+\sin x)-\log (1+\sin (x-\pi \mathrm{/}2))$$ であり、$\sin (x-\pi \mathrm{/}2)=-\cos x$ だから $$f(x)=\log \frac{1+\sin x}{1-\cos x}$$ である。

この範囲では $\frac{1+\sin x}{1-\cos x}$ は $x=\pi \mathrm{/}2$ で2、$x=\pi$ で $1\mathrm{/}2$ となり、単調に減少する。したがってこの範囲の最大値は $\log 2$、最小値は $-\log 2$ である。

以上を合わせると、全体の最大値は $\log (\frac{3}{2}+\sqrt{2})$ であり、最小値は $-\log 2$ である。