東北大学 2016年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1) $z$と$w$は弦$1,-1$の反対側にある。4点が同一円周上にあることは，この弦を見込む向き付き角が一致することと同値であり，偏角で$$\arg \frac{z-1}{z+1}\equiv \arg \frac{w-1}{w+1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\pi )$$と書ける。反対側から見込むため対応する比は正でなく負の実数である。式を整理すると$$\frac{z-1}{z+1}\frac{w+1}{w-1}=\frac{(1+w)(1-z)}{(1-w)(1+z)},$$よって必要十分条件が得られる。

(2) $w=(1+z^2)\mathrm{/}2$を代入すると，$z\mathrm{\ne }1$より$$R=\frac{(1+w)(1-z)}{(1-w)(1+z)}=\frac{z^2+3}{(z+1{)}^2}\mathrm{.}$$$z=x+yi$とし$$A=x^2-y^2+3,B=2xy,C=(x+1{)}^2-y^2,D=2(x+1)y$$とおけば$R=(A+Bi)\mathrm{/}(C+Di)$である。したがって$$<mrow><mi\; mathvariant="normal">I</mi><mi\; mathvariant="normal">m</mi></mrow>R=\frac{BC-AD}{C^2+D^2}=\frac{2y(x^2-2x+y^2-3)}{C^2+D^2}\mathrm{.}$$$y>0$だから，実数条件は$$(x-1{)}^2+y^2=4$$である。この円上では$$C^2+D^2=16(x+1{)}^2,AC+BD=16x(x+1),$$よって$x\mathrm{\ne }-1$に対して$$R=<mrow><mi\; mathvariant="normal">R</mi><mi\; mathvariant="normal">e</mi></mrow>R=\frac{x}{x+1}\mathrm{.}$$$x<0$のもとでこれが負となるのは$-1<x<0$である。$x=-1$では$z=-1$となり比が未定義，$x=0$は問題の条件外である。したがって軌跡は$$(x-1{)}^2+y^2=4,-1<x<0,y>0$$で表される両端を含まない円弧である。

(1) は弦$1,-1$を見込む向き付き角を複素数比の偏角に翻訳する。(2)では比を展開せず，$1,-1$を通る円の一般方程式を作る。$z=x+yi$から円の係数を定め，$w=(1+z^2)\mathrm{/}2$も同じ円上にある条件を代入・因数分解して軌跡を得る。

(1) 弦$1,-1$を見込む向き付き角を偏角で表すと$$\arg \frac{z-1}{z+1}\equiv \arg \frac{w-1}{w+1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\pi )\mathrm{.}$$$z,w$は実軸の反対側にあるので，比は正でなく負の実数になる。整理すると$$\frac{z-1}{z+1}\frac{w+1}{w-1}=\frac{(1+w)(1-z)}{(1-w)(1+z)},$$これが求める必要十分条件である。

(2) $1,-1$を通る円は$$X^2+Y^2+\lambda Y-1=0$$と書ける。$z=x+yi$を代入すると$$\lambda =\frac{1-x^2-y^2}{y}\mathrm{.}$$また$$w=\frac{1+z^2}{2}=\frac{1+x^2-y^2}{2}+xyi\mathrm{.}$$$u=(1+x^2-y^2)\mathrm{/}2$，$v=xy$として円の左辺へ代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle u^2+v^2+\lambda v-1}& {\displaystyle =\frac{1}{4}\{(1+x^2-y^2{)}^2+4x^2{y}^2\}+x(1-x^2-y^2)-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{4}\{x^2-2x+y^2-3\}\{x^2-2x+y^2+1\}\mathrm{.}}\end{array}$$第2因子は$(x-1{)}^2+y^2>0$だから$$(x-1{)}^2+y^2=4.$$逆にこの円上で$x<0,y>0$なら上の計算を逆にたどれ，さらに$<mrow><mi\; mathvariant="normal">I</mi><mi\; mathvariant="normal">m</mi></mrow>w=xy<0$だから(1)の上下条件も満たす。上半円弧で$x<0$となる範囲は$-1<x<0$であり，端点は条件外または比が未定義である。したがって軌跡は$$(x-1{)}^2+y^2=4,-1<x<0,y>0.$$