東北大学 2015年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1)

まず$$f(n)=\alpha n^2+\beta n+\gamma =2\alpha \cdot \frac{n(n+1)}{2}+(\beta -\alpha )n+\gamma$$である。$n$ が整数なら $n(n+1)\mathrm{/}2$ も整数である。したがって、$2\alpha ,\beta -\alpha ,\gamma$ がすべて $R$ の要素なら、すべての整数 $n$ に対して $f(n)$ も $R$ の要素である。よって(b)から(a)が従う。

逆に(a)が成り立つとする。$n=0$ を代入して $\gamma =f(0)\in R$ である。また $$f(1)+f(-1)-2f(0)=2\alpha$$ だから $2\alpha \in R$ である。さらに $f(1)-f(0)=\alpha +\beta$ であるから $$\beta -\alpha =(f(1)-f(0))-2\alpha \in R$$ である。したがって(b)が成り立つ。以上より(a),(b)は同値である。

(2)

$x=a+bi$ とおく。ただし $a,b$ は整数である。このとき $$x(x+1)=(a+bi)(a+1+bi)=A+Bi$$ と書けば $$A=a(a+1)-b^2,B=b(2a+1)$$ である。$a(a+1)$ は偶数なので $$A\equiv -b^2\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$$ であり、また $$B=b(2a+1)\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$$ である。したがって $A$ と $B$ は同じ偶奇である。

よって $${\displaystyle \frac{x(x+1)}{1-i}=\frac{(A+Bi)(1+i)}{2}=\frac{A-B}{2}+\frac{A+B}{2}i}$$ であり、$A-B$ と $A+B$ はともに偶数である。したがって実部・虚部はいずれも整数であり、${\displaystyle \frac{x(x+1)}{1-i}\in R}$ である。

(3)

まず(d)が成り立つとする。任意の $x\in R$ に対して、(2)より ${\displaystyle \frac{x(x+1)}{1-i}\in R}$ である。また $R$ は加法と乗法で閉じている。したがって$$f(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma =(1-i)\alpha \cdot \frac{x(x+1)}{1-i}+(\beta -\alpha )x+\gamma$$は $R$ の要素である。よって(c)が成り立つ。

逆に(c)が成り立つとする。整数はすべて $R$ の要素なので、(1)を用いると $2\alpha ,\beta -\alpha ,\gamma$ はいずれも $R$ の要素である。さらに $i\in R$ なので $f(i)\in R$ である。$\delta =\beta -\alpha$ とおくと $\delta \in R$ であり、$$f(i)=-\alpha +\beta i+\gamma =-\alpha +(\alpha +\delta )i+\gamma$$ である。したがって $$f(i)-\gamma -i\delta =(i-1)\alpha$$ は $R$ の要素である。両辺に $-1$ を掛けても $R$ に属するので $(1-i)\alpha \in R$ である。よって(d)が成り立つ。

以上より(c),(d)は同値である。