東北大学 2013年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
2次方程式 $4x^2+2x-1=0$ の解は $$x=\frac{-2\pm \sqrt{20}}{8}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{4}$$ である。$\alpha >\beta$ より $$\alpha =\frac{-1+\sqrt{5}}{4},\beta =\frac{-1-\sqrt{5}}{4}$$ である。 $2<\sqrt{5}<3$ だから $0<\alpha <\frac{1}{2}$ である。また $$\pi \mathrm{/}3\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$$ で $\cos \theta$ は $1\mathrm{/}2$ から $0$ まで単調に減少する。したがって $\alpha =\cos \theta$ となる $\theta$ はこの範囲にただ1つ存在する。

(2) $\alpha$ は方程式 $4x^2+2x-1=0$ の解なので $4{\alpha }^2+2\alpha -1=0$ である。これより $$2{\alpha }^2-1=-\alpha -\frac{1}{2}$$ であり、$\alpha =(-1+\sqrt{5})\mathrm{/}4$ を代入すると $$2{\alpha }^2-1=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}=\beta$$ である。したがって $$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1=2{\alpha }^2-1=\beta$$ である。

(3) $$\varphi =\frac{2\pi }{5}$$とおく。和積の公式を繰り返すと得られる恒等式$$1+2\cos \varphi +2\cos 2\varphi =\frac{\sin (5\varphi \mathrm{/}2)}{\sin (\varphi \mathrm{/}2)}$$に $\varphi =2\pi \mathrm{/}5$ を代入すると、右辺は $0$ になる。$c=\cos \varphi$ とおき、$\cos 2\varphi =2c^2-1$ を使えば$$4c^2+2c-1=0$$を得る。さらに $\pi \mathrm{/}3<\varphi <\pi \mathrm{/}2$ なので $0<c<1\mathrm{/}2$ であり、$c$ は大きい方の解 $\alpha$ である。

(1) で、この範囲に $\cos \theta =\alpha$ となる角はただ1つであることを示した。したがって$$\theta =\frac{2\pi }{5}$$である。

(4)
(3) より$$\sin \frac{3\theta }{4}=\sin \frac{3\pi }{10}=\cos \frac{\pi }{5}\mathrm{.}$$$\cos (\pi \mathrm{/}5)>0$ であり、半角の関係と $\alpha =\cos (2\pi \mathrm{/}5)$ から$${\cos }^2\frac{\pi }{5}=\frac{1+\cos (2\pi \mathrm{/}5)}{2}=\frac{1+\alpha }{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{8}\mathrm{.}$$一方、$${\left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)}^2=\frac{3+\sqrt{5}}{8}$$である。正の平方根を選んで$$\sin \frac{3\theta }{4}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$$を得る。