東北大学 2016年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) 第1象限の点を$$P=(x,2\sqrt{1-x^2})$$，$0<x<1$とおく。靴紐公式より四角形の面積は$$S(x)=x+\sqrt{1-x^2}\mathrm{.}$$微分すると$$S^{\mathrm{\prime }}(x)=1-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{.}$$$0<x<1\mathrm{/}\sqrt{2}$で$S^{\mathrm{\prime }}(x)>0$，$1\mathrm{/}\sqrt{2}<x<1$で$S^{\mathrm{\prime }}(x)<0$だから，唯一の最大点は$x=1\mathrm{/}\sqrt{2}$である。よって$$P=(\frac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{2}),\max S=\sqrt{2}\mathrm{.}$$(2) 三角形$ABC$の面積は2である。右側弧へ1点加える面積増分は$[OAPC]-[OAC]$であり，(1)から高々$\sqrt{2}-1$である。左側も同じなので，左右へ1点ずつ置けば$$2+2(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}\mathrm{.}$$同じ側へ2点置く場合も比較する。右側弧上の2点を偏角$$0<{\theta }_1<{\theta }_2<\pi \mathrm{/}2$$で表し，$$\alpha ={\theta }_1,\beta ={\theta }_2-{\theta }_1,\gamma =\frac{\pi }{2}-{\theta }_2$$とおく。靴紐公式で辺ごとの増分を計算すると，三角形$ABC$からの増分は$$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma -1.$$固定した和のもとで$$\sin u+\sin v=2\sin \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2}\leqq 2\sin \frac{u+v}{2}$$だから，2角を平均するたび正弦和は減らない。よって$$\alpha =\beta =\gamma =\pi \mathrm{/}6$$で最大となり，同じ側での増分は高々$1\mathrm{/}2$である。一方，左右1点ずつの増分は$2(\sqrt{2}-1)>1\mathrm{/}2$である。左側へ2点置く場合も同じである。したがって五角形の最大面積は$$2\sqrt{2}\mathrm{.}$$

$Y=y\mathrm{/}2$という縦方向の縮小で，上半楕円を単位円の上半分へ移す。面積は元の$1\mathrm{/}2$になる。円周上の点を偏角で表すと，辺を分割したときの面積増分が正弦の和で書ける。左右に1点ずつ置く場合と，同じ側に2点置く場合を比較して配置も含めて最大を確定する。

変換$$(X,Y)=(x,\frac{y}{2})$$を行う。すべての$y$座標が半分になるので，三角形分割した各部分の高さ，したがって任意の多角形の面積も元の半分になる。曲線は上半単位円$X^2+Y^2=1$へ移る。

(1) $$P^{\mathrm{\prime }}=(\cos \theta ,\sin \theta )$$とおくと，変換後の四角形の面積は$$\frac{1}{2}(\sin \theta +\cos \theta )\leqq \frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{.}$$等号は$\theta =\pi \mathrm{/}4$で成立する。元へ戻して$$P=(\frac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{2}),\max [OAPC]=\sqrt{2}\mathrm{.}$$(2) 変換後の三角形$ABC$の面積は1である。左右の四分円弧へ1点ずつ加える増分はそれぞれ高々$(\sqrt{2}-1)\mathrm{/}2$なので，変換後の面積$\sqrt{2}$を実現できる。

同じ側へ2点置き，その四分円を中心角$\alpha ,\beta ,\gamma$に分けると，辺ごとの三角形の面積から増分は$$\frac{1}{2}(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma -1),\alpha +\beta +\gamma =\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$固定した和に対して$$\sin u+\sin v\leqq 2\sin \frac{u+v}{2}$$だから，2角を平均する操作を繰り返すと正弦和は増加する。よって3角が等しいとき最大で，増分は高々$1\mathrm{/}4$である。これは左右へ1点ずつ置く増分$\sqrt{2}-1$より小さい。したがって変換後の最大面積は$\sqrt{2}$，元の最大面積は$$2\sqrt{2}\mathrm{.}$$