東北大学 2016年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

(1) $$J_n={\int }_0^{2\pi }{x}^2\cos nxdx$$ とおく。部分積分を行うと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle J_n}& {\displaystyle ={\left[\frac{x^2\sin nx}{n}\right]}_0^{2\pi }-\frac{2}{n}{\int }_0^{2\pi }x\sin nxdx}\end{array}$$である。$\sin 2n\pi =0$なので第1項は0である。

さらに$${\int }_0^{2\pi }x\sin nxdx={[-\frac{x\cos nx}{n}]}_0^{2\pi }+\frac{1}{n}{\int }_0^{2\pi }\cos nxdx$$である。ここで $${[-\frac{x\cos nx}{n}]}_0^{2\pi }=-\frac{2\pi }{n}$$ であり，$${\int }_0^{2\pi }\cos nxdx={\left[\frac{\sin nx}{n}\right]}_0^{2\pi }=0$$ である。したがって $${\int }_0^{2\pi }x\sin nxdx=-\frac{2\pi }{n}$$ である。よって $$J_n=-\frac{2}{n}(-\frac{2\pi }{n})=\frac{4\pi }{n^2}$$ である。

(2)
積分を展開すると$$I={\int }_0^{2\pi }{x}^{4}dx-2a{\int }_0^{2\pi }{x}^2\cos 2xdx+a^2{\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}2xdx$$である。

(1) で$n=2$とすると $${\int }_0^{2\pi }{x}^2\cos 2xdx=\frac{4\pi }{4}=\pi$$ である。また $${\cos }^{2}2x=\frac{1+\cos 4x}{2}$$ なので $${\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}2xdx=\pi$$ である。さらに$${\int }_0^{2\pi }{x}^{4}dx={\left[\frac{x^5}{5}\right]}_0^{2\pi }=\frac{32{\pi }^5}{5}$$である。

したがって $$I=\frac{32{\pi }^5}{5}-2\pi a+\pi a^2$$ である。平方完成すると $$I=\pi (a-1{)}^2+\frac{32{\pi }^5}{5}-\pi$$ である。よって$I$を最小にする実数$a$は $a=1$ であり，その最小値は $\frac{32{\pi }^5}{5}-\pi$ である。