東北大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
方程式 $z^2-\alpha z+2i=0$ が実数解をもつとする。その実数解を $z=t$ とおく。定数項が $2i$ なので $t\mathrm{\ne }0$ である。方程式から $$\alpha =t+\frac{2i}{t}$$ である。 $\alpha =X+Yi$ とおくと $X=t,Y=\frac{2}{t}$ である。したがって $XY=2$ である。逆に、$XY=2$ を満たす点は $X\mathrm{\ne }0$ であり、$t=X$ とおけば $\alpha =t+2i\mathrm{/}t$ と表せるので、実数解 $z=t$ をもつ。

よって点 $\alpha$ の軌跡は $XY=2$ である。これは第1象限と第3象限にある直角双曲線である。

(2)
絶対値1の解を $$z=\cos \theta +i\sin \theta$$ とおく。このとき $$\frac{1}{z}=\bar{z}=\cos \theta -i\sin \theta$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \alpha }& {\displaystyle =z+\frac{2i}{z}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\cos \theta +i\sin \theta +2i(\cos \theta -i\sin \theta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\cos \theta +2\sin \theta )+i(\sin \theta +2\cos \theta )}\end{array}$$である。 $\beta$ は $\alpha$ を原点中心に $\frac{\pi }{4}$ 回転した点なので $$\beta =\frac{1+i}{\sqrt{2}}\alpha$$ である。$\beta =u+vi$ とおくと$$u=\frac{(\cos \theta +2\sin \theta )-(\sin \theta +2\cos \theta )}{\sqrt{2}}=\frac{\sin \theta -\cos \theta }{\sqrt{2}}$$であり、$$v=\frac{(\cos \theta +2\sin \theta )+(\sin \theta +2\cos \theta )}{\sqrt{2}}=\frac{3(\sin \theta +\cos \theta )}{\sqrt{2}}$$である。よって$$u^2+\frac{v^2}{9}=\frac{(\sin \theta -\cos \theta {)}^2+(\sin \theta +\cos \theta {)}^2}{2}=1$$である。

逆に任意の $\theta$ でこの形の点が得られるので、軌跡は $$u^2+\frac{v^2}{9}=1$$ である。すなわち、原点中心、実軸方向の半径1、虚軸方向の半径3の楕円である。

$\alpha =z+2i\mathrm{/}z$ を基本式とし、実数解では双曲線、単位円上の解では $(\cos \theta ,\sin \theta )$ の線形像として軌跡を求める。回転後の座標変換を行列として整理する。

(1)
指定された解を $z\mathrm{\ne }0$ とすれば$$\alpha =z+\frac{2i}{z}\mathrm{.}$$実数解 $z=t$ の場合、$\alpha =X+Yi$ として$$X=t,Y=\frac{2}{t}$$だから軌跡は直角双曲線 $XY=2$ である。

(2)
次に $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ とし、$$z=\cos \theta +i\sin \theta$$ とおく。$1\mathrm{/}z=\bar{z}$ を用い、さらに $$\beta =(1+i)\alpha \mathrm{/}\sqrt{2}=u+vi$$ とすると$$\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1\mathrm{/}\sqrt{2}& 1\mathrm{/}\sqrt{2}\\ 3\mathrm{/}\sqrt{2}& 3\mathrm{/}\sqrt{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)\mathrm{.}$$したがって$$u=\frac{\sin \theta -\cos \theta }{\sqrt{2}},v=\frac{3(\sin \theta +\cos \theta )}{\sqrt{2}}$$であり、$$u^2+\frac{v^2}{9}=1.$$よって軌跡は原点中心、半径1と3を主軸にもつ楕円である。