問題
を複素数とする。複素数 の方程式
について、以下の問いに答えよ。ただし、 は虚数単位である。
(1)方程式 が実数解をもつように が動くとき、点 が複素数平面上に描く図形を図示せよ。
(2)方程式 が絶対値1の複素数を解にもつように が動くとする。原点を中心に を 回転させた点を表す複素数を とするとき、点 が複素数平面上に描く図形を図示せよ。
方針
解法1
方程式を について解くと、指定された種類の解 をもつ条件は で表せる。(1)は実数解 とおき、 の実部・虚部を読むと双曲線になる。(2)は なので を使い、 とおく。さらに 回転後の の実部・虚部を計算し、楕円の方程式に直す。
解法2（実部・虚部の線形変換）
を基本式とし、実数解では双曲線、単位円上の解では の線形像として軌跡を求める。回転後の座標変換を行列として整理する。
解答
解法1
(1)
方程式 が実数解をもつとする。その実数解を とおく。定数項が なので である。方程式から である。 とおくと である。したがって である。逆に、 を満たす点は であり、 とおけば と表せるので、実数解 をもつ。
よって点 の軌跡は である。これは第1象限と第3象限にある直角双曲線である。
(2)
絶対値1の解を とおく。このとき である。したがって
である。 は を原点中心に 回転した点なので である。 とおくと
であり、
である。よって
である。
逆に任意の でこの形の点が得られるので、軌跡は である。すなわち、原点中心、実軸方向の半径1、虚軸方向の半径3の楕円である。
解法2（実部・虚部の線形変換）
(1)
指定された解を とすれば
実数解 の場合、 として
だから軌跡は直角双曲線 である。
(2)
次に とし、 とおく。 を用い、さらに とすると
したがって
であり、
よって軌跡は原点中心、半径1と3を主軸にもつ楕円である。
