問題
片面が黒、もう片面が白の正方形の板が9枚ある。これらを横3列、縦3列に、すべて黒が表になるように並べる。さいころの出た目に従い、次のように1列の板をすべてひっくり返す。
1が出れば上の横列をすべてひっくり返す。
2が出れば中央の横列をすべてひっくり返す。
3が出れば下の横列をすべてひっくり返す。
4が出れば左の縦列をすべてひっくり返す。
5が出れば中央の縦列をすべてひっくり返す。
6が出れば右の縦列をすべてひっくり返す。
例えば、さいころを2回振って最初に1、次に4が出たとき、盤面は
となる。
(1)さいころを2回振ったとき、すべての板が黒になっている確率を求めよ。
(2)さいころを3回振ったとき、すべての板が白になっている確率を求めよ。
(3)さいころを4回振ったとき、盤面が次のようになっている確率を求めよ。
方針
解法1
盤面は横3列・縦3列の選択回数の偶奇だけで決まる。(1)(2)は後期文系第3問と同じく、同じ列を2回、または横3列・縦3列を1回ずつ選ぶ場合を数える。(3)では4回後の目標盤面に対応する偶奇パターンが2種類ある。中央横列と中央縦列だけが奇数の場合は、奇数列2本の回数配分が に加えて偶数2回、または となる。もう一方の4本奇数の場合は4本を1回ずつ選ぶ。
解法2
行・列を選んだ回数の偶奇を0、1で表し、各板の反転回数を行と列の偶奇の和として記述する。目標盤面に対応する2種類の偶奇パターンを求め、多項係数で4回の順序を数える。
解答
解法1
(1)
2回後にすべて黒であるには、すべての板が偶数回反転されなければならない。2回の操作でこれが起こるのは、同じ横列または同じ縦列を2回選ぶ場合だけである。選ぶ列は6通りなので である。
(2)
3回後にすべて白であるには、9枚すべてが奇数回反転される必要がある。3回でこれを実現するには、横3列を1回ずつ選ぶか、縦3列を1回ずつ選ぶしかない。順序を考えると有利な出方は 通りである。したがって確率は である。
(3)
図の盤面になる偶奇パターンは2種類ある。1つ目は、中央の横列と中央の縦列だけを奇数回選び、残り4列を偶数回選ぶ場合である。4回の操作でこの偶奇にする出方を数える。
中央横列と中央縦列をそれぞれ1回ずつ選び、残り2回で同じ非目標列を2回選ぶ場合は、非目標列の選び方が4通り、順序が 通りなので、合計48通りである。また、中央横列と中央縦列のどちらか一方を3回、もう一方を1回選ぶ場合は 通りである。したがって1つ目のパターンは 通りである。
2つ目は、上下の横列と左右の縦列の4本を奇数回選び、中央横列と中央縦列を偶数回選ぶ場合である。4回の操作では、この4本をそれぞれ1回ずつ選ぶしかないので 通りである。
よって有利な出方は 通りである。全事象は 通りだから である。
解法2
横列の偶奇を 、縦列の偶奇を とすると、板 が白である条件は
である。
(1)
全て黒に戻るには同じ列を2回選ぶしかないから
(2)
全て白にするには、横3列または縦3列を各1回選ぶ。よって
(3)
目標の白黒行列は
これを実現する奇数回選択の列集合は
である。
集合 の場合、2と5を各1回、残る同じ目を2回出す出方は
通りである。また2、5の一方を3回、他方を1回出す出方は
通りである。したがって56通りである。
集合 の場合は4つを各1回出すので 通りである。よって