東北大学 2018年度
理系数学 前期 第6問

解答

解法1

(1)

条件を $x$ について見ると $x\leqq 2-y^2,x\geqq -y,x\leqq y+2$ である。直線 $x=-y$ と直線 $x=y+2$ の交点は $(-1,1)$ であり、直線 $x=-y$ と放物線 $x=2-y^2$ の交点は $y^2-y-2=0$ より $(-2,2),(1,-1)$ である。さらに直線 $x=y+2$ と放物線 $x=2-y^2$ の交点は $y+2=2-y^2$ より $y=0,-1$ であり、関係する点は $(2,0),(1,-1)$ である。

したがって、$-1\leqq y\leqq 0$ では $-y\leqq x\leqq y+2$ であり、$0\leqq y\leqq 2$ では $-y\leqq x\leqq 2-y^2$ である。この領域を図示すれば、直線 $x=-y$、直線 $x=y+2$、放物線 $x=2-y^2$ で囲まれる部分である。

(2)

回転軸 $y=-x$ に合わせて $u=\frac{x+y}{\sqrt{2}},v=\frac{x-y}{\sqrt{2}}$ とおく。この変換では $x=\frac{u+v}{\sqrt{2}},y=\frac{u-v}{\sqrt{2}}$ である。回転軸は $u=0$ であり、条件 $x+y\geqq 0$ は $u\geqq 0$ である。また $x-y\leqq 2$ は $v\leqq \sqrt{2}$ である。

残る条件 $x+y^2\leqq 2$ を $u,v$ で表すと $\frac{u+v}{\sqrt{2}}+{\left(\frac{u-v}{\sqrt{2}}\right)}^2\leqq 2$ である。境界を $u$ について解くと $u=v-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{18-8\sqrt{2}v}$ が上側の解である。さらに $u=0$ が領域に含まれる $v$ の範囲は $-2\sqrt{2}\leqq v\leqq \sqrt{2}$ である。したがって領域は

で表される。

この領域を $u=0$ のまわりに回転すると、$v$ を固定した断面は半径 $U(v)=v-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{18-8\sqrt{2}v}$ の円である。よって体積は $V=\pi {\int }_{-2\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}U(v{)}^{2}dv$ である。展開して積分すると

である。

解法2（円筒殻法）

(1)

直交変換

を用いる。放物線条件の境界を $v$ について解くと

また直線条件は $u\geqq 0,v\leqq \sqrt{2}$ である。元の座標では、境界は $x=-y$、$x=y+2$、$x=2-y^2$ であり、領域は次の図の網掛け部分になる。

(2)

$u$ を固定した領域の $v$ 方向の長さは

回転後の円筒殻の半径は $u$ なので

平方根を含む項には $w=18-8\sqrt{2}u$ を用いて計算すると

を得る。断面円板法とは積分方向が直交する独立な検算になる。