東北大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)
条件を $x$ について見ると $$x\leqq 2-y^2,x\geqq -y,x\leqq y+2$$ である。直線 $x=-y$ と直線 $x=y+2$ の交点は $(-1,1)$ であり、直線 $x=-y$ と放物線 $x=2-y^2$ の交点は $y^2-y-2=0$ より $(-2,2),(1,-1)$ である。さらに直線 $x=y+2$ と放物線 $x=2-y^2$ の交点は $y+2=2-y^2$ より $y=0,-1$ であり、関係する点は $(2,0),(1,-1)$ である。

したがって、$-1\leqq y\leqq 0$ では $-y\leqq x\leqq y+2$ であり、$0\leqq y\leqq 2$ では $-y\leqq x\leqq 2-y^2$ である。この領域を図示すれば、直線 $x=-y$、直線 $x=y+2$、放物線 $x=2-y^2$ で囲まれる部分である。

(2)
回転軸 $y=-x$ に合わせて $$u=\frac{x+y}{\sqrt{2}},v=\frac{x-y}{\sqrt{2}}$$ とおく。この変換では $$x=\frac{u+v}{\sqrt{2}},y=\frac{u-v}{\sqrt{2}}$$ である。回転軸は $u=0$ であり、条件 $x+y\geqq 0$ は $u\geqq 0$ である。また $x-y\leqq 2$ は $v\leqq \sqrt{2}$ である。

残る条件 $x+y^2\leqq 2$ を $u,v$ で表すと $\frac{u+v}{\sqrt{2}}+{\left(\frac{u-v}{\sqrt{2}}\right)}^2\leqq 2$ である。境界を $u$ について解くと $$u=v-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{18-8\sqrt{2}v}$$ が上側の解である。さらに $u=0$ が領域に含まれる $v$ の範囲は $$-2\sqrt{2}\leqq v\leqq \sqrt{2}$$ である。したがって領域は$$-2\sqrt{2}\leqq v\leqq \sqrt{2},0\leqq u\leqq v-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{18-8\sqrt{2}v}$$で表される。

この領域を $u=0$ のまわりに回転すると、$v$ を固定した断面は半径 $$U(v)=v-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{18-8\sqrt{2}v}$$ の円である。よって体積は $$V=\pi {\int }_{-2\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}U(v{)}^{2}dv$$ である。展開して積分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_{-2\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}{(v-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{18-8\sqrt{2}v})}^{2}dv}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{58\sqrt{2}\pi }{15}}\end{array}$$である。

回転軸に合わせた直交座標 $(u,v)$ は解法1と同じだが、今度は軸からの距離 $u$ を固定する。領域の $v$ 方向の長さを求め、半径 $u$、高さがその長さである円筒殻を積分する。

(1)
直交変換$$u=\frac{x+y}{\sqrt{2}},v=\frac{x-y}{\sqrt{2}}$$を用いる。放物線条件の境界を $v$ について解くと$$v_{\pm }(u)=u-\frac{\sqrt{2}}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{18-8\sqrt{2}u}\mathrm{.}$$また直線条件は $u\geqq 0,v\leqq \sqrt{2}$ である。元の座標では、境界は $x=-y$、$x=y+2$、$x=2-y^2$ であり、領域は次の図の網掛け部分になる。

(2)
$u$ を固定した領域の $v$ 方向の長さは$$L(u)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{2}-v_{-}(u)& (0\leqq u\leqq \sqrt{2}),\\ v_{+}(u)-v_{-}(u)& (\sqrt{2}\leqq u\leqq {\displaystyle \frac{9\sqrt{2}}{8}})\mathrm{.}\end{array}$$回転後の円筒殻の半径は $u$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =2\pi {\int }_0^{\sqrt{2}}u\{\sqrt{2}-v_{-}(u)\}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +2\pi {\int }_{\sqrt{2}}^{9\sqrt{2}\mathrm{/}8}u\{v_{+}(u)-v_{-}(u)\}du\mathrm{.}}\end{array}$$平方根を含む項には $w=18-8\sqrt{2}u$ を用いて計算すると$$V=\frac{58\sqrt{2}\pi }{15}$$を得る。断面円板法とは積分方向が直交する独立な検算になる。