東北大学 2018年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

$n$ を2以上、 $a$ を1以上の整数とする。箱の中に、1から $n$ までの番号札がそれぞれ1枚ずつ、合計 $n$ 枚入っている。この箱から、1枚の札を無作為に取り出して元に戻す、という試行を $a$ 回繰り返す。ちょうど $a$ 回目の試行で、それまでに取り出した札に書かれた数の和がはじめて $n$ 以上となる確率を $p (a)$ とする。

(1) $p (1)$ と $p (n)$ を求めよ。

(2) $p (2)$ を求めよ。

(3) $n$ が3以上の整数のとき $p (3)$ を求めよ。

出典：東北大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

解法1

$p (1), p (n), p (2)$ は文系第2問と同じ数え方で処理する。 $p (3)$ では、最初の2回の和を $s$ とおく。3回目ではじめて和が $n$ 以上になるには $2 ≦ s ≦ n - 1$ であり、最初の2回で和が $s$ になる順序つきの出方は $s - 1$ 通り、3回目の札は $n - s$ 以上で $s + 1$ 通りである。この積を足し上げる。

解法2（部分和による畳み込み）

最後の1回の直前までの和を固定する。和が $s < n$ である列の個数と、最後に $n$ へ到達させる札の個数を掛けて足すと、各設問を同じ形で処理できる。

解答

解法1

(1)

1回目で初めて和が $n$ 以上になるには、1回目に $n$ を取り出すしかない。したがって $p (1) = \frac{1}{n}$ である。

また、 $n$ 回目で初めて和が $n$ 以上になるには、最初の $n - 1$ 回の和が $n$ 未満でなければならない。各回の値は1以上なので、最初の $n - 1$ 回がすべて1である場合しかない。この場合、 $n$ 回目は何を引いてもよい。よって $p (n) = (\frac{1}{n})^{n - 1}$ である。

(2)

1回目に $i$ を取り出すとする。2回目ではじめて和が $n$ 以上になるためには $1 ≦ i ≦ n - 1$ であり、2回目は $n - i$ 以上の数を取り出せばよい。その選び方は $n - i, n - i + 1, \dots, n$ の $i + 1$ 通りである。したがって

p (2) = \frac{\sum _{i = 1}^{n - 1} ( i + 1 )}{n ^{2}} = \frac{( n - 1 ) ( n + 2 )}{2 n ^{2}}

である。

(3)

最初の2回の和を $s$ とする。3回目ではじめて和が $n$ 以上になるには、最初の2回の和が $n$ 未満であるから $2 ≦ s ≦ n - 1$ である。和が $s$ となる最初の2回の順序つきの出方は $(1, s - 1), (2, s - 2), \dots, (s - 1, 1)$ の $s - 1$ 通りである。

このとき3回目には $n - s$ 以上の札を取り出せばよい。選び方は $n - s, n - s + 1, \dots, n$ の $s + 1$ 通りである。したがって有利な出方の数は $\sum_{s = 2}^{n - 1} (s - 1) (s + 1) = \sum_{s = 2}^{n - 1} (s^{2} - 1)$ である。これを計算すると

s = 2 \sum n - 1 (s^{2} - 1) = \frac{( n - 1 ) n ( 2 n - 1 )}{6} - n + 1 = \frac{( n - 2 ) ( n - 1 ) ( 2 n + 3 )}{6}

である。全事象は $n^{3}$ 通りなので $p (3) = \frac{( n - 2 ) ( n - 1 ) ( 2 n + 3 )}{6 n ^{3}}$ である。

解法2（部分和による畳み込み）

(1)

$X_{j}$ を $j$ 回目の札とする。1回目と $n$ 回目については

p (1) = \frac{1}{n}, p (n) = \frac{1}{n ^{n - 1}} .

(2)

$X_{1} = i < n$ のとき、2回目に到達する札は $i + 1$ 通りあるので

p (2) = \frac{1}{n ^{2}} i = 1 \sum n - 1 (i + 1) = \frac{( n - 1 ) ( n + 2 )}{2 n ^{2}} .

(3)

最初の2回の和を $s$ とする。 $2 ≦ s ≦ n - 1$ なら、正の順序つき2項で和が $s$ となる出方は $s - 1$ 通り、最後に到達する札は $s + 1$ 通りである。したがって

p (3) = \frac{1}{n ^{3}} s = 2 \sum n - 1 (s - 1) (s + 1) = \frac{( n - 2 ) ( n - 1 ) ( 2 n + 3 )}{6 n ^{3}} .

東北大学 2018年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解法1

解法2（部分和による畳み込み）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2（部分和による畳み込み）

(1)

(2)

(3)

東北大学 2018年度
理系数学前期第2問