東北大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
1回目で初めて和が $n$ 以上になるには、1回目に $n$ を取り出すしかない。したがって $p(1)=\frac{1}{n}$ である。

また、$n$ 回目で初めて和が $n$ 以上になるには、最初の $n-1$ 回の和が $n$ 未満でなければならない。各回の値は1以上なので、最初の $n-1$ 回がすべて1である場合しかない。この場合、$n$ 回目は何を引いてもよい。よって $$p(n)={\left(\frac{1}{n}\right)}^{n-1}$$ である。

(2)
1回目に $i$ を取り出すとする。2回目ではじめて和が $n$ 以上になるためには $1\leqq i\leqq n-1$ であり、2回目は $n-i$ 以上の数を取り出せばよい。その選び方は $n-i,n-i+1,\dots ,n$ の $i+1$ 通りである。したがって$$p(2)=\frac{\sum _{i=1}^{n-1}(i+1)}{n^2}=\frac{(n-1)(n+2)}{2n^2}$$である。

(3)
最初の2回の和を $s$ とする。3回目ではじめて和が $n$ 以上になるには、最初の2回の和が $n$ 未満であるから $2\leqq s\leqq n-1$ である。和が $s$ となる最初の2回の順序つきの出方は $(1,s-1),(2,s-2),\dots ,(s-1,1)$ の $s-1$ 通りである。

このとき3回目には $n-s$ 以上の札を取り出せばよい。選び方は $n-s,n-s+1,\dots ,n$ の $s+1$ 通りである。したがって有利な出方の数は $$\sum _{s=2}^{n-1}(s-1)(s+1)=\sum _{s=2}^{n-1}(s^2-1)$$ である。これを計算すると$$\sum _{s=2}^{n-1}(s^2-1)=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}-n+1=\frac{(n-2)(n-1)(2n+3)}{6}$$である。全事象は $n^3$ 通りなので $$p(3)=\frac{(n-2)(n-1)(2n+3)}{6n^3}$$ である。

最後の1回の直前までの和を固定する。和が $s<n$ である列の個数と、最後に $n$ へ到達させる札の個数を掛けて足すと、各設問を同じ形で処理できる。

(1)
$X_j$ を $j$ 回目の札とする。1回目と $n$ 回目については$$p(1)=\frac{1}{n},p(n)=\frac{1}{n^{n-1}}\mathrm{.}$$(2)
$X_1=i<n$ のとき、2回目に到達する札は $i+1$ 通りあるので$$p(2)=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n-1}(i+1)=\frac{(n-1)(n+2)}{2n^2}\mathrm{.}$$(3)
最初の2回の和を $s$ とする。$2\leqq s\leqq n-1$ なら、正の順序つき2項で和が $s$ となる出方は $s-1$ 通り、最後に到達する札は $s+1$ 通りである。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p(3)}& {\displaystyle =\frac{1}{n^3}\sum _{s=2}^{n-1}(s-1)(s+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(n-2)(n-1)(2n+3)}{6n^3}\mathrm{.}}\end{array}$$