東北大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

円 $C$ を平方完成すると$$(x-a{)}^2+(y-2{)}^2=a^2$$である。中心は $(a,2)$、半径は $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ である。

(1)

$L,M$ を連立すると交点は $(a,a)$ である。これが $C$ 上にある条件は$$(a-2{)}^2=a^2$$だから$$a=1.$$(2)

中心から $L$ までの距離は$$d_L=\frac{\mathrm{\mid }-4a+3\cdot 2+a\mathrm{\mid }}{5}=\frac{3\mathrm{\mid }2-a\mathrm{\mid }}{5}\mathrm{.}$$異なる2共有点をもつ条件は $d_L<\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ である。2乗して整理すると$$9(a-2{)}^2<25a^2⟺(4a-3)(a+3)>0.$$よって$$a<-3\text{または}a>\frac{3}{4}\mathrm{.}$$(3)

中心から $M$ までの距離は$$d_M=\frac{\mathrm{\mid }3a+4\cdot 2-7a\mathrm{\mid }}{5}=\frac{4\mathrm{\mid }2-a\mathrm{\mid }}{5}\mathrm{.}$$したがって $M$ が割線となる条件は$$16(a-2{)}^2<25a^2⟺(a+8)(9a-8)>0,$$すなわち $a<-8$ または $a>8\mathrm{/}9$ である。接線となるのは$$a=-8,a=\frac{8}{9}\mathrm{.}$$一方 $L$ が接線となるのは$$a=-3,a=\frac{3}{4}\mathrm{.}$$集合の要素数が3になるのは次の2種類である。$$\begin{array}{cc}\text{状況}& a\\ L,M\text{ がともに割線で、1交点を共有}& 1\\ M\text{ が接線、}L\text{ が割線}& -8,{\displaystyle \frac{8}{9}}\end{array}$$第1行は(1)による。$L$ が接線となる $a=-3,3\mathrm{/}4$ では $M$ は割線でない。よって$$a=-8,a=\frac{8}{9},a=1.$$

直線 $L,M$ をそれぞれ円の式へ代入し、得られる $x$ の二次方程式の判別式で交点数を判定する。(3) では判別式0の値と、2直線の共通点が円上にある値を組み合わせる。

(1)

$L,M$ の交点は $(a,a)$ である。円の式へ代入すると$$(a-a{)}^2+(a-2{)}^2=a^2$$より $a=1$ である。

(2)

$L$ は $y=(4x-a)\mathrm{/}3$ である。円の式へ代入し、9倍して整理すると$$25x^2-(26a+48)x+(a+6{)}^2=0.$$判別式は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle D_L}& {\displaystyle =(26a+48{)}^2-100(a+6{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =144(4a-3)(a+3)\mathrm{.}}\end{array}$$異なる2共有点をもつ条件 $D_L>0$ から$$a<-3\text{または}a>\frac{3}{4}\mathrm{.}$$(3)

同様に $M$ を代入すると$$25x^2+(-74a+48)x+(7a-8{)}^2=0$$であり、$$D_M=64(a+8)(9a-8)\mathrm{.}$$よって $M$ の接線条件は $a=-8,8\mathrm{/}9$、割線条件は $a<-8$ または $a>8\mathrm{/}9$ である。

$D_M=0$ の2値では $D_L>0$ なので、$M$ の1点と $L$ の2点は合計3点になる。また $D_L>0,D_M>0$ のもとで2組の交点が1点だけ重なるには、$L\cap M$ が円上にあればよい。(1) より $a=1$ である。逆に $D_L=0$ の2値では $D_M\leqq 0$ なので3点にならない。したがって$$a=-8,a=\frac{8}{9},a=1.$$