東北大学 2026年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

条件(i)の前半と因数定理から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d}& {\displaystyle =(x^2-1)(x^2+ax+b+1),}\end{array}$$したがって$$c=-a,d=-b-1.$$条件(ii)から$$b^2=-2b,$$ゆえに$b=0$または$-2$である。

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・$b=0$のとき$c=-a,d=-1$で，(iii)は$a^2=3a$となる。よって$a=0,3$。

$a=0$なら4次式は$(x^2-1)(x^2+1)$となり，実数解は$\pm 1$だけである。
$a=3$なら$x^2+3x+1$が判別式$5>0$をもち，$\pm 1$以外の実数解をもつため不適。

・$b=-2$のとき$c=-a,d=1$で，(iii)は$a^2=3(a-2)$となる。
$a^2-3a+6=0$の判別式は$-15<0$なので，実数$a$は存在しない。

残った候補は条件(ii)，(iii)も満たす。したがって$$(a,b,c,d)=(0,0,0,-1)\mathrm{.}$$

主解と異なる見方による補足。

1と$-1$を4次式に代入すると$$1+a+b+c+d=0,1-a+b-c+d=0.$$二式の差と和から$c=-a$，$d=-b-1$を得る。
因数分解を初めに書かなくても，ここから(ii)，(iii)を使って同じ候補を求められる。
最後の実数解の確認には，因数分解が必要になる。

条件を満たす係数の候補を求める計算と，その候補が元の方程式の解の条件を満たす確認を分けて書くと，論証の抜けを防げる。