東北大学 2026年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

(1) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=18x^2-30x+8$より，接線は$y=8x-15$。よって$$a=8,b=-15.$$$f(x)=8x-15$は$3x^2(2x-5)=0$だから，$x=0$以外の交点について$$p=\frac{5}{2}\mathrm{.}$$$g(x)=8x-15$は$16x^2+8x-15=0$で，解は$3\mathrm{/}4,-5\mathrm{/}4$。正の方を取り$$q=\frac{3}{4}\mathrm{.}$$(2) $$f(x)-g(x)=(x-1)(6x^2+7x+15)\mathrm{.}$$二次因子の判別式は$49-360<0$で，最高次係数は正なので，すべての実数$x$で正である。
よって$f(x)=g(x)$の実数解は$x=1$だけで，$f(1)=g(1)=-16$。
したがって共有点は$(1,-16)$のみ。

(3) $f(x)\le g(x)$は$x\le 1$と同値であり，$0\le x\le 1$では$f(x)\le 8x-15$も成り立つ。
また$$g(x)-(8x-15)=-16(x-\frac{3}{4})(x+\frac{5}{4})\mathrm{.}$$よって上側は$0\le x\le 3\mathrm{/}4$で$8x-15$，$3\mathrm{/}4\le x\le 1$で$g(x)$である。
したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S=}& {\displaystyle {\int }_0^{3\mathrm{/}4}(15x^2-6x^3)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_{3\mathrm{/}4}^1(-6x^3-x^2-8x+15)dx}\\ {\displaystyle =}& {\displaystyle \frac{837}{512}+\frac{1201}{1536}=\frac{29}{12}\mathrm{.}}\end{array}$$

主解と異なる見方による補足。

$0\le x\le 1$で，接線と$C$に挟まれる面積は$${\int }_0^1(15x^2-6x^3)dx=\frac{7}{2}\mathrm{.}$$$3\mathrm{/}4\le x\le 1$では，この領域のうち$C^{\mathrm{\prime }}$より上の部分を除く。
その面積は$${\int }_{3\mathrm{/}4}^1(16x^2+8x-15)dx=\frac{13}{12}\mathrm{.}$$よって$S=7\mathrm{/}2-13\mathrm{/}12=29\mathrm{/}12$となる。

差し引く部分が本当に元の領域に含まれることは，$f(x)\le g(x)\le 8x-15$を確かめて保証する。