東北大学 2026年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $P=(x,y,z)$とおく。$x^2+y^2+z^2=1$より$$\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BP}=1-x-y$$であり，他の二つも同様に計算すると$$w=3-2(x+y+z)\mathrm{.}\text{(1)}$$内積の不等式から$$\mathrm{\mid }x+y+z\mathrm{\mid }\le \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}=\sqrt{3}\mathrm{.}$$等号は$(x,y,z)$が$(1,1,1)$に平行なときに成立する。したがって$$\text{最大値 }3+2\sqrt{3},P=(-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}),$$$$\text{最小値 }3-2\sqrt{3},P=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})\mathrm{.}$$(2) (1)より$w=1$は$x+y+z=1$と同値である。この平面への原点の垂足は$$H=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})\mathrm{.}$$$O{H}^2=1\mathrm{/}3<1$なので切り口は円であり，$H{P}^2=O{P}^2-O{H}^2=2\mathrm{/}3$より，半径は$$\sqrt{\frac{2}{3}}\mathrm{.}$$(3) $\mathit{u}=\overrightarrow{HP}$とおくと$$\mathit{u}\cdot (1,1,1)=0,\mathrm{\mid }\mathit{u}\mathrm{\mid }=\sqrt{\frac{2}{3}}\mathrm{.}$$$\overrightarrow{OD}=2(1,1,1)+(-1,0,1)$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{D}^2}& {\displaystyle =15-2\overrightarrow{OD}\cdot \overrightarrow{OP}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =11-2(-1,0,1)\cdot \mathit{u}\mathrm{.}}\end{array}$$内積の不等式より$$\mathrm{\mid }(-1,0,1)\cdot \mathit{u}\mathrm{\mid }\le \sqrt{2}\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\mathrm{.}$$両端の等号は$\mathit{u}=\pm (-1,0,1)\mathrm{/}\sqrt{3}$で成立する。よって$$\text{最大値 }11+\frac{4}{\sqrt{3}},P=(\frac{1}{3}+\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{3},\frac{1}{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}),$$$$\text{最小値 }11-\frac{4}{\sqrt{3}},P=(\frac{1}{3}-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{3},\frac{1}{3}+\frac{1}{\sqrt{3}})\mathrm{.}$$

主解と異なる見方による補足。

平面上では$x+y+z=1$なので，$$x+2y+3z=2+(z-x),P{D}^2=11-2(z-x)\mathrm{.}$$$t=z-x$とおく。$x+z=1-y$より$$1=x^2+y^2+z^2=\frac{(1-y{)}^2+t^2}{2}+y^2\mathrm{.}$$したがって$$t^2=\frac{4}{3}-3{(y-\frac{1}{3})}^2\le \frac{4}{3}\mathrm{.}$$$t=\pm 2\mathrm{/}\sqrt{3}$は$y=1\mathrm{/}3$のときに実現する。
これを$x+z=2\mathrm{/}3$と連立すれば，答案と同じ二点を得る。

この方法では円の半径を(3)の計算に持ち込まず，球面と平面の条件を直接使っている。
距離そのものを展開して二次式を最大化するよりも，$O{P}^2=1$を先に使う方が計算を短くできる。