東北大学 2026年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) 二項定理から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (1.001{)}^{1000}}& {\displaystyle =1+1000\cdot \frac{1}{1000}+\sum _{k=2}^{1000}{}_{1000}{\mathrm{C}}_k\frac{1}{{1000}^k}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle >1+1=2.}\end{array}$$残りの和は正であるから，求める不等式が成り立つ。

(2) $N={1001}^{1002}$とおくと$$(1.001{)}^{1002}=\frac{N}{{10}^{3006}}\mathrm{.}$$小数第3000位は$N$の${10}^6$の位である。
二項定理より，ある整数$M$を用いて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle N}& {\displaystyle =1+1002\cdot {10}^3+{}_{1002}{\mathrm{C}}_2{10}^6+{10}^{9}M}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+1002000+501501\cdot {10}^6+{10}^{9}M}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2002001+{10}^7(50150+100M)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$N$の下位七桁は2002001であり，求める数字は$$2.$$

主解と異なる見方による補足。

$(1.001{)}^j>1$は$j\ge 1$で成り立つ。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (1.001{)}^{1000}-1}& {\displaystyle =\sum _{j=0}^{999}\{(1.001{)}^{j+1}-(1.001{)}^j\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0.001\sum _{j=0}^{999}(1.001{)}^j>0.001\times 1000=1.}\end{array}$$これでも(1)を示せる。各回の増加量を0.001で評価する方法であり，二項展開を使っていない。

【遠い小数の桁を求めるとき】

小数第$k$位の数字は，数を${10}^k$倍した整数部分の一の位である。
分母が$10$のべきなら，分子のどの位に対応するかを先に決めるとよい。
下位の桁からの繰り上がりは必要なので，求める一桁だけでなく，そこまでの全桁を残す。