東京大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $$\mathit{u}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$$とおく。条件より $\mathit{u}\mathrm{\ne }\mathbf{0}$ である。与えられた行列は $$A={\displaystyle \frac{1}{a^2+b^2}}\mathit{u}{\mathit{u}}^{\mathsf{T}}$$ であり，これは点の位置ベクトルを $\mathit{u}$ の方向へ正射影する一次変換である。

実際，$$A^2={\displaystyle \frac{1}{(a^2+b^2{)}^2}}\mathit{u}({\mathit{u}}^{\mathsf{T}}\mathit{u}){\mathit{u}}^{\mathsf{T}}={\displaystyle \frac{1}{a^2+b^2}}\mathit{u}{\mathit{u}}^{\mathsf{T}}=A$$である。したがって $$A^3=A,(I-A{)}^2=I-2A+A^2=I-A$$ である。

点 $P(x,y)$ の位置ベクトルを $\mathit{p}$ とすると $$\mathit{q}=A\mathit{p},\mathit{r}=(I-A)\mathit{p}$$ であり，$\mathit{p}=\mathit{q}+\mathit{r}$ である。また $A(I-A)=A-A^2=0$ だから，$\mathit{q}$ と $\mathit{r}$ は直交する。問題の条件より $Q\mathrm{\ne }P$，$R\mathrm{\ne }P$ なので，$\mathit{r}\mathrm{\ne }\mathbf{0}$，$\mathit{q}\mathrm{\ne }\mathbf{0}$ であり，角はきちんと定まる。

ここで$$\overrightarrow{PQ}=\mathit{q}-\mathit{p}=-\mathit{r},\overrightarrow{PR}=\mathit{r}-\mathit{p}=-\mathit{q}$$である。$\mathit{q}\perp \mathit{r}$ だから $\mathrm{\angle }QPR={90}^{\circ }$ である。

(2) $Q$ は $(a,b)$ 方向への射影であるから，その長さは $$OQ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }ax+by\mathrm{\mid }}{\sqrt{a^2+b^2}}}$$ である。また $(a,b)$ に垂直な方向として $(-b,a)$ を取ると，$R$ の長さは $$OR={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }-bx+ay\mathrm{\mid }}{\sqrt{a^2+b^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }ay-bx\mathrm{\mid }}{\sqrt{a^2+b^2}}}$$ である。

(1) より $\mathrm{△}PQR$ は $P$ を直角とする直角三角形であり，$PQ=OR,PR=OQ$ である。したがって面積を $S$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}PQ\cdot PR}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}OR\cdot OQ}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }(ax+by)(ay-bx)\mathrm{\mid }}{2(a^2+b^2)}}}\end{array}$$である。

$(a,b)$ 方向とそれに垂直な方向を新しい直交座標軸に選ぶ。この座標では $A$ と $I-A$ はそれぞれ一方の成分だけを残す変換になるため、行列の累乗、角、面積が座標図だけで読める。

$(a,b)$ 方向と $(-b,a)$ 方向を単位化して、新しい直交座標軸とする。この座標で点 $P$ の成分を $(u,v)$ と書くと$$u={\displaystyle \frac{ax+by}{\sqrt{a^2+b^2}}},v={\displaystyle \frac{-bx+ay}{\sqrt{a^2+b^2}}}\mathrm{.}$$行列 $A$ は第1成分だけを残す正射影だから、$A^3$ も同じ作用をし$$Q=(u,0)$$となる。一方、$I-A$ は第2成分だけを残す正射影であり、$(I-A{)}^2=I-A$ だから$$R=(0,v)$$である。したがって、新しい直交座標では$$P=(u,v),Q=(u,0),R=(0,v)\mathrm{.}$$(1) $PQ$ は第2軸に平行、$PR$ は第1軸に平行なので$$\mathrm{\angle }QPR={90}^{\circ }\mathrm{.}$$(2) $PQ=\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }$、$PR=\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }$ だから、面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }uv\mathrm{\mid }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }(ax+by)(ay-bx)\mathrm{\mid }}{2(a^2+b^2)}}\mathrm{.}}\end{array}$$