東京大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
行列 $A$ の2本の列ベクトルを$$\mathit{p}=\left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right),\mathit{q}=\left(\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right)$$とする。原点、$(1,0)$、$(0,1)$ を頂点とする三角形は直角二等辺三角形である。条件 (1) より、その像も相似であるから$$\mathrm{\mid }\mathit{p}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\mathit{q}\mathrm{\mid },\mathit{p}\cdot \mathit{q}=0$$となる。したがって、ある実数 $u,v$ を用いて$$A=\left(\begin{array}{cc}u& -v\\ v& u\end{array}\right)\text{または}A=\left(\begin{array}{cc}u& v\\ v& -u\end{array}\right)$$と書ける。

(2)
第1の型では、条件 (2) から$$u-\sqrt{3}v=-2,v+\sqrt{3}u=2\sqrt{3}$$であり、これを解いて $u=1$、$v=\sqrt{3}$ を得る。第2の型では$$u+\sqrt{3}v=-2,v-\sqrt{3}u=2\sqrt{3}$$であり、$u=-2$、$v=0$ を得る。

よって$$A=\left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 1\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$$である。どちらについても任意のベクトル $\mathit{x}$ に対して$$\mathrm{\mid }A\mathit{x}\mathrm{\mid }=2\mathrm{\mid }\mathit{x}\mathrm{\mid }$$となるので、任意の三角形を相似な三角形へ移す。指定された点の像も上の連立式で確認済みであり、2つとも条件を満たす。

第1の行列は「${60}^{\circ }$ 回転して2倍」、第2の行列は「$y$ 軸対称にして2倍」

点 $(x,y)$ を複素数 $z=x+yi$ とみる。平面上のすべての図形の相似を保つ実一次変換は、向きを保つ $z\mapsto \alpha z$ と、向きを反転する $z\mapsto \beta \bar{z}$ の2型である。指定された点の像から $\alpha$、$\beta$ を直接求める。

(1)
点 $(x,y)$ を $z=x+yi$ と表す。条件 (1) を満たす一次変換は、向きを保つ場合$$z⟼\alpha z$$であり、向きを反転する場合$$z⟼\beta \bar{z}$$である。実際、どちらもすべての長さを一定倍し、角の大きさを保つ。逆に、標準基底の像が等長かつ直交するので、この2型以外はない。

(2)
条件 (2) は$$1+\sqrt{3}i⟼-2+2\sqrt{3}i$$である。向きを保つ場合は$$\alpha ={\displaystyle \frac{-2+2\sqrt{3}i}{1+\sqrt{3}i}}=1+\sqrt{3}i$$となる。$$(1+\sqrt{3}i)(x+yi)=(x-\sqrt{3}y)+(\sqrt{3}x+y)i$$ だから$$A=\left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$向きを反転する場合は$$\beta ={\displaystyle \frac{-2+2\sqrt{3}i}{1-\sqrt{3}i}}=-2$$である。$-2\bar{z}=-2x+2yi$ だから$$A=\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)\mathrm{.}$$したがって、求める行列はこの2つである。