東京大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

$A=(0,0),B=(1,0)$ とする。点 $(x,y)$ を原点のまわりに正の向きへ60度回転した座標は$$({\displaystyle \frac{x-\sqrt{3}y}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}x+y}{2}})$$である。この公式を中心 $A$、次に中心 $B$ の回転へ用いると$$h(x,y)=(-{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}y}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}x}{2}}-{\displaystyle \frac{y}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\mathrm{.}$$(1) $A,B$ を代入して$$h(A)=({\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})=C,h(B)=A$$を得る。したがって $ABC$ は線分 $AB$ の下側にできる正三角形である。

(2) 中心 $O=(p,q)$ は固定点なので $h(p,q)=(p,q)$ を解く。すなわち$$p=-{\displaystyle \frac{p}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}q}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}},q={\displaystyle \frac{\sqrt{3}p}{2}}-{\displaystyle \frac{q}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$これより$$O=({\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}})$$となる。さらに $h(x,y)-O$ は $(x,y)-O$ を正の向きへ120度回転した座標公式そのものである。よって $h$ は $O$ を中心とする正の120度回転である。

元の図に戻せば、$O$ は正三角形 $ABh(A)$ の中心である。

$C=g(A)$ とおき、二つの60度回転でできる正三角形を追う。$h$ が正三角形の三頂点を $A\to C\to B\to A$ と巡回させることを示し、その中心まわりの120度回転と一致すると結論する。

$C=g(A)$ とおく。$g$ は $B$ を中心とする正の60度回転なので$$BA=BC=AC$$であり、$C$ は線分 $AB$ の右側、すなわち $A$ から $B$ を見て下側にある。したがって $ABC$ は正三角形である。

(1) $f(A)=A$ だから$$h(A)=g(f(A))=g(A)=C\mathrm{.}$$また、$f(B)$ は線分 $AB$ の上側にできる正三角形の第三頂点であり、それを $B$ のまわりにさらに正の60度回すと $A$ へ移る。よって$$h(B)=A\mathrm{.}$$(2) さらに、$C$ を $A$ のまわりに正の60度回すと $B$ へ移るので $f(C)=B$ である。$g(B)=B$ と合わせると$$h(C)=B\mathrm{.}$$したがって合成写像 $h$ は正三角形の頂点を$$A⟼C⟼B⟼A$$と巡回させる。二つの回転の合成は長さと向きを保ち、この三点の動かし方は正三角形の中心 $O$ のまわりの正の120度回転と一致する。ゆえに $h$ は $O$ を中心とする正の120度回転であり、$O$ は正三角形 $ABC$ の重心、外心、内心に当たる点である。