東京大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$z=x+yi$ とおく。まず $2z=2x+2yi$ であるから、$2z$ の実部が整数であることは $2x=m$ となる整数 $m$ が存在することと同じである。

また、$z\mathrm{\ne }0$ であり $${\displaystyle \frac{2}{z}}={\displaystyle \frac{2}{x+yi}}={\displaystyle \frac{2(x-yi)}{x^2+y^2}}$$ だから、$2\mathrm{/}z$ の実部は ${\displaystyle \frac{2x}{x^2+y^2}}$ である。したがって、これが整数であることは $${\displaystyle \frac{2x}{x^2+y^2}}=n$$ となる整数 $n$ が存在することと同じである。

まず $m=0$ の場合を考える。このとき $x=0$ であり、$z=yi$ である。すると $2z$ の実部は0、$2\mathrm{/}z$ の実部も0である。条件 $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\geqq 1$ より $\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\geqq 1$ である。したがって $z=yi(\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\geqq 1)$ はすべて条件を満たす。

次に $m\mathrm{\ne }0$ とする。このとき $x\mathrm{\ne }0$ なので $n\mathrm{\ne }0$ である。$2x=m$ より $$x={\displaystyle \frac{m}{2}}$$ であり、さらに $$x^2+y^2={\displaystyle \frac{2x}{n}}={\displaystyle \frac{m}{n}}$$ である。左辺は正だから、$m,n$ は同符号である。

ここで $M=\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid },N=\mathrm{\mid }n\mathrm{\mid }$ とおくと $$\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=x^2+y^2={\displaystyle \frac{M}{N}}$$ である。条件 $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\geqq 1$ より ${\displaystyle \frac{M}{N}}\geqq 1$ すなわち $N\leqq M$ である。また $$y^2={\displaystyle \frac{M}{N}}-{\displaystyle \frac{M^2}{4}}\geqq 0$$ より $${\displaystyle \frac{M}{N}}\geqq {\displaystyle \frac{M^2}{4}}$$ である。$M>0$ なので $MN\leqq 4$ を得る。

したがって、$N\leqq M$ かつ $MN\leqq 4$ を満たす正整数の組 $(M,N)$ を列挙すると $(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(4,1)$ である。

それぞれを点に戻す。 $(M,N)=(1,1)$ のとき $$x=\pm {\displaystyle \frac{1}{2}},\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=1,y^2=1-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$$ なので $$z=\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$$ である。 $(M,N)=(2,1)$ のとき $$x=\pm 1,\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=2,y^2=1$$ なので $z=\pm 1\pm i$ である。 $(M,N)=(2,2)$ のとき $$x=\pm 1,\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=1,y=0$$ なので $z=\pm 1$ である。 $(M,N)=(3,1)$ のとき $$x=\pm {\displaystyle \frac{3}{2}},\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=3,y^2=3-{\displaystyle \frac{9}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$$ なので $$z=\pm {\displaystyle \frac{3}{2}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$$ である。 $(M,N)=(4,1)$ のとき $$x=\pm 2,\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=4,y=0$$ なので $z=\pm 2$ である。

以上より、求める集合は $\{yi\mid \mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\geqq 1\}$ と、次の16個の点 $\pm 2,\pm 1,\pm 1\pm i,$ $\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i,\pm {\displaystyle \frac{3}{2}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$ との和集合である。ただし、$\pm$ はそれぞれ可能な符号をすべてとる。

$z=r{e}^{i\theta }$ と極形式で捉え、実部の整数条件を $2r\cos \theta =m$、$2\cos \theta \mathrm{/}r=n$ と置く。積と商から $\mathrm{\mid }mn\mathrm{\mid }\leqq 4$、$\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }\geqq \mathrm{\mid }n\mathrm{\mid }$ を得て有限列挙し、$m=0$ の連続部分も忘れずに加える。

$z=r{e}^{i\theta }$ と置く。ただし $r=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\geqq 1$ である。実部の条件から、ある整数 $m,n$ があって$$2r\cos \theta =m,{\displaystyle \frac{2\cos \theta }{r}}=n$$となる。

$m=0$ なら $\cos \theta =0$ であり、求める点は$$z=yi(\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\geqq 1)$$である。

$m\mathrm{\ne }0$ なら $n\mathrm{\ne }0$ で、$m,n$ は同符号である。2式の積と商から$$mn=4{\cos }^2\theta ,r^2={\displaystyle \frac{m}{n}}$$を得る。$M=\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid },N=\mathrm{\mid }n\mathrm{\mid }$ と置けば$$MN\leqq 4,N\leqq M$$である。正整数の組は$$(M,N)=(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(4,1)$$に限られる。

各組について $x=m\mathrm{/}2$、$y^2=r^2-x^2=M\mathrm{/}N-M^2\mathrm{/}4$ を計算すると、離散部分は$$\begin{array}{c}{\displaystyle \pm 2,\pm 1,\pm 1\pm i,}\\ {\displaystyle \pm {\displaystyle \frac{1}{2}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i,\pm {\displaystyle \frac{3}{2}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i}\end{array}$$である。ここで同じ式中の2つの符号は独立に選ぶ。

したがって、求める集合は上の16点と2本の半直線$$\{yi\mid \mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\geqq 1\}$$との和集合である。