東京大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $a=3+4i$ とおく。漸化式は $$z_{n+1}=a{z}_n+1,z_1=1$$ であるから、帰納的に $$z_n=1+a+a^2+\cdots +a^{n-1}$$ である。したがって $$z_n={\displaystyle \frac{a^n-1}{a-1}}$$ である。

ここで $$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }3+4i\mathrm{\mid }=5,\mathrm{\mid }a-1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }2+4i\mathrm{\mid }=2\sqrt{5}$$ だから $$\mathrm{\mid }{z}_n\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{a}^n-1\mathrm{\mid }}{2\sqrt{5}}}$$ である。

まず下から評価する。三角不等式より $$\mathrm{\mid }{a}^n-1\mathrm{\mid }\geqq \mathrm{\mid }{a}^n\mathrm{\mid }-1=5^n-1$$ である。よって $$\mathrm{\mid }{z}_n\mathrm{\mid }\geqq {\displaystyle \frac{5^n-1}{2\sqrt{5}}}$$ である。これが ${\displaystyle \frac{3\cdot 5^{n-1}}{4}}$ より大きいことを確認する。両辺を正の数で割り、整理すると $${\displaystyle \frac{5^n-1}{2\sqrt{5}}}>{\displaystyle \frac{3\cdot 5^{n-1}}{4}}$$ は $$2(5^n-1)>3\sqrt{5}{5}^{n-1}$$ と同値である。$n=1$ では $8>3\sqrt{5}$ であり成り立つ。一般に左辺を $5^{n-1}$ で割ると $$10-2\mathrm{/}{5}^{n-1}\geqq 8>3\sqrt{5}$$ なので、全ての $n\geqq 1$ で成り立つ。したがって $${\displaystyle \frac{3\cdot 5^{n-1}}{4}}<\mathrm{\mid }{z}_n\mathrm{\mid }$$ である。

次に上から評価する。三角不等式より $$\mathrm{\mid }{a}^n-1\mathrm{\mid }\leqq \mathrm{\mid }{a}^n\mathrm{\mid }+1=5^n+1$$ である。したがって $$\mathrm{\mid }{z}_n\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{5^n+1}{2\sqrt{5}}}$$ である。 $n=1$ では $z_1=1$ だから $\mathrm{\mid }{z}_1\mathrm{\mid }=1<{\displaystyle \frac{5}{4}}$ である。$n\geqq 2$ では $$2+{\displaystyle \frac{2}{5^n}}\leqq 2+{\displaystyle \frac{2}{25}}<\sqrt{5}$$ であるから $${\displaystyle \frac{5^n+1}{2\sqrt{5}}}<{\displaystyle \frac{5^n}{4}}$$ が成り立つ。よって $$\mathrm{\mid }{z}_n\mathrm{\mid }<{\displaystyle \frac{5^n}{4}}$$ である。以上より、すべての自然数 $n$ について $${\displaystyle \frac{3\cdot 5^{n-1}}{4}}<\mathrm{\mid }{z}_n\mathrm{\mid }<{\displaystyle \frac{5^n}{4}}$$ が示された。

(2)
(1)より、$\mathrm{\mid }{z}_n\mathrm{\mid }\leqq r$ なら $${\displaystyle \frac{3\cdot 5^{n-1}}{4}}<r$$ である。したがって $$5^{n-1}<{\displaystyle \frac{4r}{3}}$$ より $$n<1+{\displaystyle \frac{\log (4r\mathrm{/}3)}{\log 5}}$$ である。よって $f(r)$ はこの右辺をこえることはない。

一方、$${\displaystyle \frac{5^n}{4}}\leqq r$$ ならば、(1)より $\mathrm{\mid }{z}_n\mathrm{\mid }<r$ である。したがって $$n\leqq {\displaystyle \frac{\log (4r)}{\log 5}}$$ を満たす自然数 $n$ はすべて $f(r)$ に数えられる。

以上から、$f(r)$ は ${\displaystyle \frac{\log r}{\log 5}}$ と高々定数差しかない。すなわち、ある定数 $C$ が存在して、十分大きい $r$ に対して $$\mid f(r)-{\displaystyle \frac{\log r}{\log 5}}\mid \leqq C$$ である。両辺を $\log r$ で割り、$r\to +\mathrm{\infty }$ とすると定数差は消えるので $$\underset{r\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{f(r)}{\log r}}={\displaystyle \frac{1}{\log 5}}$$ である。

漸化式の固定点を引いて同次化する。さらに $3+4i=5(\cos \theta +i\sin \theta )$ と置き、$\mathrm{\mid }{z}_n{\mathrm{\mid }}^2$ を $\cos n\theta$ を含む実数式で表す。余弦の範囲から同じ指数評価を得て、対数スケールで個数を数える。

$$a=3+4i=5(\cos \theta +i\sin \theta )$$ と置く。漸化式の固定点 $w$ は$$w=aw+1,w=-{\displaystyle \frac{1}{a-1}}$$を満たす。従って$$z_{n+1}-w=a(z_n-w)$$であり、$$z_n={\displaystyle \frac{a^n-1}{a-1}}$$を得る。

(1)
$\mathrm{\mid }a-1{\mathrm{\mid }}^2=20$ だから$$\mathrm{\mid }{z}_n{\mathrm{\mid }}^2={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{a}^n-1{\mathrm{\mid }}^2}{20}}={\displaystyle \frac{5^{2n}-2\cdot 5^n\cos n\theta +1}{20}}\mathrm{.}$$$$-1\leqq \cos n\theta \leqq 1$$ より$${\displaystyle \frac{(5^n-1{)}^2}{20}}\leqq \mathrm{\mid }{z}_n{\mathrm{\mid }}^2\leqq {\displaystyle \frac{(5^n+1{)}^2}{20}}\mathrm{.}$$正の平方根を取り、$$10-2\mathrm{/}{5}^{n-1}\geqq 8>3\sqrt{5}$$ を用いると$${\displaystyle \frac{5^n-1}{2\sqrt{5}}}>{\displaystyle \frac{3\cdot 5^{n-1}}{4}}\mathrm{.}$$上側は $n=1$ を直接確認し、$n\geqq 2$ では$$2(1+{\displaystyle \frac{1}{5^n}})\leqq {\displaystyle \frac{52}{25}}<\sqrt{5}$$より$${\displaystyle \frac{5^n+1}{2\sqrt{5}}}<{\displaystyle \frac{5^n}{4}}\mathrm{.}$$従って指定の不等式が成り立つ。

(2)
$5^n\mathrm{/}4\leqq r$ なら $\mathrm{\mid }{z}_n\mathrm{\mid }\leqq r$ であり、$\mathrm{\mid }{z}_n\mathrm{\mid }\leqq r$ なら$${\displaystyle \frac{3\cdot 5^{n-1}}{4}}<r$$である。よって十分大きい $r$ に対し$$\lfloor {\displaystyle \frac{\log (4r)}{\log 5}}\rfloor \leqq f(r)\leqq 1+\lfloor {\displaystyle \frac{\log (4r\mathrm{/}3)}{\log 5}}\rfloor \mathrm{.}$$両端を $\log r$ で割って $r\to +\mathrm{\infty }$ とすれば、はさみうちにより$$\underset{r\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{f(r)}{\log r}}={\displaystyle \frac{1}{\log 5}}\mathrm{.}$$