東京大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) 条件 $C(a)\subset \{y<x\}$ は$$a<x^2-x\sqrt{x^2-1}(x\geqq 1)$$と同値である。右辺は$$\frac{x}{x+\sqrt{x^2-1}}$$であり、$x\geqq 1$ で $1\mathrm{/}2$ より大きく、$x\to \mathrm{\infty }$ で $1\mathrm{/}2$ に近づく。従って最大値は$$a_0=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$(2) $$b(x)=\sqrt{x^2-1}+1\mathrm{/}(2x)$$ とおく。回転体の体積は$$V(\theta )=\pi {\int }_1^{1\mathrm{/}\cos \theta }\{x^2-b(x{)}^2\}dx\mathrm{.}$$被積分関数は$$1-\frac{1}{4x^2}-\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\mathrm{.}$$平方根を含む項では $$u=\sqrt{x^2-1}$$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_1^{1\mathrm{/}\cos \theta }\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}dx}& {\displaystyle ={\int }_0^{\tan \theta }\frac{u^2}{1+u^2}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\tan \theta -{\int }_0^{\tan \theta }\frac{du}{1+u^2}\mathrm{.}}\end{array}$$さらに $u=\tan t$ とおけば $0\leqq t\leqq \theta$ なので、最後の積分は $\theta$ である。したがって$${\int }_1^{1\mathrm{/}\cos \theta }\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}dx=\tan \theta -\theta \mathrm{.}$$これを体積の式へ代入すると$$V(\theta )=\pi (\frac{1}{\cos \theta }-\tan \theta +\frac{\cos \theta }{4}+\theta -\frac{5}{4})\mathrm{.}$$(3) $\theta \to \pi \mathrm{/}2-0$ で$$\frac{1}{\cos \theta }-\tan \theta =\frac{1-\sin \theta }{\cos \theta }\to 0.$$従って$$\underset{\theta \to \pi \mathrm{/}2-0}{\lim }V(\theta )=\frac{\pi (2\pi -5)}{4}\mathrm{.}$$