東京大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

点光源を $$P=(a\cos \theta ,b\sin \theta ,c+1)$$ とし、板 $R$ 上の点を $$(u,v,c),\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\leqq a,\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }\leqq b$$ とおく。この2点を結ぶ直線上の点は、実数 $s$ を用いて $P+s\{(u,v,c)-P\}$ と表される。$z$ 座標は $c+1+s(c-(c+1))=c+1-s$ なので、$xy$ 平面上では $s=c+1$ である。したがって影の点を $(x,y)$ とすると $$x=(c+1)u-ca\cos \theta ,y=(c+1)v-cb\sin \theta$$ である。

固定した $\theta$ に対して、これは中心 $(-ca\cos \theta ,-cb\sin \theta )$ をもち、横の半幅 $(c+1)a$、縦の半幅 $(c+1)b$ の長方形である。

ここで $$X=\frac{x}{a},Y=\frac{y}{b}$$ とおく。この縮尺変更のもとで、長方形は半幅 $c+1$ の正方形になり、その中心は $(-c\cos \theta ,-c\sin \theta )$ である。したがって中心は円 $X^2+Y^2=c^2$ 上を動く。

よって $XY$ 平面で影の通過する部分は、正方形 $$\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }\leqq c+1,\mathrm{\mid }Y\mathrm{\mid }\leqq c+1$$ を半径 $c$ だけ外側にふくらませた図形である。図では、1辺 $2(c+1)$ の正方形の4辺の外側に幅 $c$ の帯を付け、4隅を半径 $c$ の四分円で丸めた形になる。

その面積は $\{2(c+1){\}}^2+4\cdot \{2(c+1)\cdot c\}+4\cdot \frac{\pi c^2}{4}$ であるから $4(c+1{)}^2+8c(c+1)+\pi c^2$ である。元の $xy$ 平面では、$X,Y$ から $x,y$ への面積倍率が $ab$ なので、求める面積は ${\displaystyle ab\{4(c+1{)}^2+8c(c+1)+\pi c^2\}}$ である。