東京大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
2つの格子点 $U(x_1,y_1)$，$V(x_2,y_2)$ を結ぶ線分を考える。座標差を $$u=x_2-x_1,v=y_2-y_1$$ とし，$d=\gcd (\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid })$ とおく。線分 $UV$ 上の格子点は $$U+\frac{k}{d}(u,v)(k=0,1,2,\dots ,d)$$ で表され，両端を除く格子点は $d-1$ 個である。

辺 $AB$ 上の両端を除く格子点が奇数個であるから，対応する $d-1$ が奇数である。したがって $d$ は偶数である。よって $A$ から $B$ への座標差の2成分はともに偶数である。同様に，$A$ から $C$ への座標差の2成分もともに偶数である。

すると $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$$ の2成分もともに偶数である。したがって辺 $BC$ に対応する最大公約数も偶数であり，辺 $BC$ 上の両端を除く格子点数は $\text{偶数}-1$ だから奇数個である。

(2)
平行移動しても格子点であることや面積は変わらないので，$A$ を原点としてよい。辺 $AB$ 上に両端を除いてちょうど3個の格子点があるから，$AB$ に対応する最大公約数は4である。したがって $B=(4m,4n)$ と書ける。同様に $C=(4r,4s)$ と書ける。ただし $m,n,r,s$ は整数である。

点 $B=(x_1,y_1)$，$C=(x_2,y_2)$ と原点がつくる三角形の面積は、底辺と高さから得られる座標の面積公式により$$\frac{1}{2}\mid x_1{y}_2-y_1{x}_2\mid$$である。ここで $$x_1=4m,y_1=4n,x_2=4r,y_2=4s$$ を代入すると、三角形 $ABC$ の面積は$$\frac{1}{2}\mid (4m)(4s)-(4n)(4r)\mid =8\mathrm{\mid }ms-nr\mathrm{\mid }$$となる。$\mathrm{\mid }ms-nr\mathrm{\mid }$ は整数なので，三角形 $ABC$ の面積は8で割り切れる整数である。