東京大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin nx}{\sin x}}=n\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin nx}{nx}}{\displaystyle \frac{x}{\sin x}}=n\mathrm{.}$$従って連続となるための値は$$c_n=n$$である。

(2) 加法定理から$$\sin 3x=\sin x(1+2\cos 2x)$$なので$$f_3(x)=1+2\cos 2x$$である。$x=0$ でも両辺は3となり一致する。従って$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}{f}_3(x)dx}& {\displaystyle ={\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}(1+2\cos 2x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi \mathrm{.}}\end{array}$$(3) 任意の正の整数 $n$ に対し$${\displaystyle \frac{\sin (2n+1)x}{\sin x}}=1+2\sum _{k=1}^n\cos 2kx$$が成り立つ。これは右辺に $\sin x$ を掛け、積和公式を用いれば望遠的に $\sin (2n+1)x$ となることから分かる。$x=0$ でも連続値 $2n+1$ と一致する。

各 $k\geqq 1$ について$${\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}\cos 2kxdx={\displaystyle \frac{\sin k\pi }{k}}=0.$$従って$${\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}{f}_{2n+1}(x)dx=\pi \mathrm{.}$$

奇数添字の関数について、正弦の差の公式から $f_{2n+3}=f_{2n+1}+2\cos (2n+2)x$ という漸化式を作る。追加される余弦の定積分が0なので、基準 $f_1=1$ から全ての積分が同じであることを帰納する。

(1) $$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin nx}{\sin x}}=n\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin nx}{nx}}{\displaystyle \frac{x}{\sin x}}=n$$なので、連続にするには $c_n=n$ とすればよい。

(2)
正弦の差の公式から$$\sin 3x-\sin x=2\cos 2x\sin x$$である。従って$$f_3(x)=1+2\cos 2x$$であり、$x=0$ でも両辺は3で一致する。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}{f}_3(x)dx}& {\displaystyle ={\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}(1+2\cos 2x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi \mathrm{.}}\end{array}$$(3)
同様に$$\sin (2n+3)x-\sin (2n+1)x=2\cos (2n+2)x\sin x$$だから、連続値も含め$$f_{2n+3}(x)=f_{2n+1}(x)+2\cos (2n+2)x$$である。ところが$${\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}\cos (2n+2)xdx={\left[{\displaystyle \frac{\sin (2n+2)x}{2n+2}}\right]}_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}=0.$$従って奇数添字の積分は添字を2増やしても変わらない。$f_1(x)=1$ を基準に帰納すれば$${\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}{f}_{2n+1}(x)dx={\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}1dx=\pi \mathrm{.}$$