東京大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

積の微分と積分の微分より$$g^{\mathrm{\prime }}(x)={\int }_0^{x}f(t)dt,g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=f(x)=1-\sin x\geqq 0.$$$x$ を固定し$$H(y)=g(x+y)+g(x-y)-2g(x)$$とおく。$H$ は偶関数なので $y\geqq 0$ だけ考えればよい。$$H(0)=0,H^{\mathrm{\prime }}(0)=0$$であり、$$H^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(y)=g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x+y)+g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x-y)\geqq 0.$$よって $y\geqq 0$ で $H^{\mathrm{\prime }}$ は増加し、$H^{\mathrm{\prime }}(y)\geqq H^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ である。
さらに $H(y)\geqq H(0)=0$ となる。偶関数性からすべての実数 $y$ について$$g(x+y)+g(x-y)\geqq 2g(x)$$が成り立つ。

$g$ を具体的に積分して初等関数で表す。
左辺と右辺の差を整理し、$1-\cos y\leqq y^2\mathrm{/}2$ に帰着させる。

$g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=1-\sin x$ であり、定義から $g(0)=g^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ である。
これを2回積分すると$$g(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x+\sin x\mathrm{.}$$したがって、求める差は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle g(x+y)+g(x-y)-2g(x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =y^2+\sin (x+y)+\sin (x-y)-2\sin x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =y^2-2\sin x(1-\cos y)\mathrm{.}}\end{array}$$$1-\cos y\geqq 0$ かつ $\sin x\leqq 1$ だから$$y^2-2\sin x(1-\cos y)\geqq y^2-2(1-\cos y)\mathrm{.}$$さらに$$2(1-\cos y)=4{\sin }^2{\displaystyle \frac{y}{2}}\leqq y^2$$である。よって差は0以上であり、与えられた不等式が成り立つ。