東京大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

まず積分値を計算する。 $${\sin }^{2}x={\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2}}$$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^x{\sin }^{2}xdx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\pi }{e}^{x}dx-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\pi }{e}^x\cos 2xdx\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $${\displaystyle \frac{d}{dx}}\left\{{\displaystyle \frac{e^x(\cos 2x+2\sin 2x)}{5}}\right\}=e^x\cos 2x$$ である。したがって$${\int }_0^{\pi }{e}^x\cos 2xdx={\left[{\displaystyle \frac{e^x(\cos 2x+2\sin 2x)}{5}}\right]}_0^{\pi }={\displaystyle \frac{e^{\pi }-1}{5}}$$である。また$${\int }_0^{\pi }{e}^{x}dx=e^{\pi }-1$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^x{\sin }^{2}xdx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^{\pi }-1)-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{e^{\pi }-1}{5}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{5}}(e^{\pi }-1)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって、示すべきことは ${\displaystyle \frac{2}{5}}(e^{\pi }-1)>8$ すなわち $e^{\pi }>21$ である。

これを示す。$e>2.7$、$\pi >3.14$ であり、$u>0$ に対して $e^u>1+u$ が成り立つ。よって $$e^{\pi }=e^3{e}^{\pi -3}>{2.7}^3{e}^{0.14}>{2.7}^3(1+0.14)$$ である。ここで ${2.7}^3=19.683$ なので $${2.7}^3\cdot 1.14=22.43862>21$$ である。したがって $e^{\pi }>21$ である。

以上より$${\int }_0^{\pi }{e}^x{\sin }^{2}xdx={\displaystyle \frac{2}{5}}(e^{\pi }-1)>{\displaystyle \frac{2}{5}}(21-1)=8$$である。よって$${\int }_0^{\pi }{e}^x{\sin }^{2}xdx>8$$が示された。

指数関数を4次多項式で下から評価し、その多項式に ${\sin }^{2}x$ を掛けて直接積分する。多項式評価は差を5回微分して符号を戻すことで示し、積分値は部分積分の漸化式で厳密に計算する。

$x\geqq 0$ に対し$$e^x>1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x^3}{6}}+{\displaystyle \frac{x^4}{24}}(x>0)$$を示す。左辺から右辺を引いた関数を $g(x)$ とすると、$$g(0)=g^{\mathrm{\prime }}(0)=\cdots =g^{(4)}(0)=0$$ であり、$g^{(5)}(x)=e^x>0$ である。微分係数の符号を順に戻せば $x>0$ で $g(x)>0$ となる。

従って$${\int }_0^{\pi }{e}^x{\sin }^{2}xdx>{\int }_0^{\pi }(1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x^3}{6}}+{\displaystyle \frac{x^4}{24}}){\sin }^{2}xdx\mathrm{.}$$$$J_k={\int }_0^{\pi }{x}^k\cos 2xdx$$と置く。部分積分を2回行うと $k\geqq 2$ について$$J_k={\displaystyle \frac{k{\pi }^{k-1}}{4}}-{\displaystyle \frac{k(k-1)}{4}}{J}_{k-2},$$また $J_0=J_1=0$ である。従って$$J_2={\displaystyle \frac{\pi }{2}},J_3={\displaystyle \frac{3{\pi }^2}{4}},J_4={\pi }^3-{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\mathrm{.}$$${\sin }^{2}x=(1-\cos 2x)\mathrm{/}2$ を用いて整理すると、右辺の積分は$${\displaystyle \frac{13\pi }{32}}+{\displaystyle \frac{3{\pi }^2}{16}}+{\displaystyle \frac{{\pi }^3}{16}}+{\displaystyle \frac{{\pi }^4}{48}}+{\displaystyle \frac{{\pi }^5}{240}}\mathrm{.}$$この式は $\pi >0$ で増加し、問題文より $\pi >3.14$ だから$${\displaystyle \frac{13\pi }{32}}+{\displaystyle \frac{3{\pi }^2}{16}}+{\displaystyle \frac{{\pi }^3}{16}}+{\displaystyle \frac{{\pi }^4}{48}}+{\displaystyle \frac{{\pi }^5}{240}}>8.36>8.$$以上から$${\int }_0^{\pi }{e}^x{\sin }^{2}xdx>8$$が従う。