東京大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
時刻 $t$ において、線分 $QR$ は $$x=1-vt,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\leqq y\leqq 1$$ で表される縦の線分である。点 $P$ は $(\cos t,\sin t)$ だから、$P$ が線分 $QR$ 上にある条件は $$\cos t=1-vt,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\leqq \sin t\leqq 1$$ である。 $0\leqq t\leqq 2\pi$ において $${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\leqq \sin t\leqq 1$$ となるのは $${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$$ のときである。したがって衝突が起こるためには、この区間のある $t$ について $$v={\displaystyle \frac{1-\cos t}{t}}$$ となればよい。 $$\varphi (t)={\displaystyle \frac{1-\cos t}{t}}$$ とおく。すると $${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{t\sin t+\cos t-1}{t^2}}$$ である。分子を $F(t)=t\sin t+\cos t-1$ とおくと $F^{\mathrm{\prime }}(t)=t\cos t$ である。したがって $F$ は $[\pi \mathrm{/}3,\pi \mathrm{/}2]$ で増加し、$[\pi \mathrm{/}2,2\pi \mathrm{/}3]$ で減少する。

端点では $$F\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)={\displaystyle \frac{\pi \sqrt{3}}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}>0,$$ $$F\left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)={\displaystyle \frac{\pi \sqrt{3}}{3}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}>0$$ であるから、この区間全体で $F(t)>0$ である。よって $\varphi (t)$ は $[\pi \mathrm{/}3,2\pi \mathrm{/}3]$ で単調増加する。

したがって衝突が起こる $v$ の範囲は $$\varphi \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)\leqq v\leqq \varphi \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)$$ である。端点の値は $$\varphi \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)={\displaystyle \frac{1-1\mathrm{/}2}{\pi \mathrm{/}3}}={\displaystyle \frac{3}{2\pi }},$$ $$\varphi \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)={\displaystyle \frac{1-(-1\mathrm{/}2)}{2\pi \mathrm{/}3}}={\displaystyle \frac{9}{4\pi }}$$ である。よって、ぶつからないための条件はこの範囲の外側、すなわち $$0<v<{\displaystyle \frac{3}{2\pi }}\text{または}v>{\displaystyle \frac{9}{4\pi }}$$ である。

(2)
上で示したように、衝突は $$v=\varphi (t),{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$$ と同値であり、$\varphi (t)$ はこの区間で単調増加である。したがって $${\displaystyle \frac{3}{2\pi }}\leqq v\leqq {\displaystyle \frac{9}{4\pi }}$$ のとき、対応する時刻 $t$ はただ1つ存在する。端点の場合も、$t=\pi \mathrm{/}3$ または $t=2\pi \mathrm{/}3$ で1回だけぶつかる。

よって、点 $P$ と線分 $QR$ がただ一度だけぶつかるための $v$ の範囲は $${\displaystyle \frac{3}{2\pi }}\leqq v\leqq {\displaystyle \frac{9}{4\pi }}$$ である。

衝突可能な円弧を先に限定し、各時刻に衝突を起こす速度 $v=(1-\cos t)\mathrm{/}t$ を考える。そのグラフが対象区間で狭義増加することを端点を含めて示し、水平線との交点数を数える。

(1)
線分 $QR$ 上の点は$$x=1-vt,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\leqq y\leqq 1$$を満たす。したがって衝突時刻は$${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$$に限られ、そのとき$$v=\psi (t):={\displaystyle \frac{1-\cos t}{t}}\mathrm{.}$$微分すると$${\psi }^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{t\sin t+\cos t-1}{t^2}}\mathrm{.}$$分子を $H(t)$ とおけば $H^{\mathrm{\prime }}(t)=t\cos t$ である。
ゆえに $H$ は $[\pi \mathrm{/}3,\pi \mathrm{/}2]$ で増加し、
$[\pi \mathrm{/}2,2\pi \mathrm{/}3]$ で減少する。両端では$$H\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)={\displaystyle \frac{\pi \sqrt{3}}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}>0,H\left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)={\displaystyle \frac{\pi \sqrt{3}}{3}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}>0.$$したがって全区間で ${\psi }^{\mathrm{\prime }}(t)>0$ である。

衝突する速度の全範囲は$$\psi \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)\leqq v\leqq \psi \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right),$$すなわち$${\displaystyle \frac{3}{2\pi }}\leqq v\leqq {\displaystyle \frac{9}{4\pi }}\mathrm{.}$$よって衝突しない範囲は$$0<v<{\displaystyle \frac{3}{2\pi }}\text{または}v>{\displaystyle \frac{9}{4\pi }}\mathrm{.}$$(2)
$\psi$ は連続かつ狭義増加なので、上の閉区間内の各 $v$ に対し
$v=\psi (t)$ を満たす時刻はただ1つである。端点速度でも対応時刻はそれぞれ
$\pi \mathrm{/}3,2\pi \mathrm{/}3$ の1回だけである。したがって$${\displaystyle \frac{3}{2\pi }}\leqq v\leqq {\displaystyle \frac{9}{4\pi }}\mathrm{.}$$