東京大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

半径1の円を考える。この円の円周は $2\pi$ である。

この円に内接する正12角形をとる。中心角は $${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{12}}={30}^{\circ }$$ であるから、正12角形の一辺の長さは $2\sin {15}^{\circ }$ である。内接多角形の周の長さは円周より小さいので $$12\cdot 2\sin {15}^{\circ }<2\pi$$ である。したがって $\pi >12\sin {15}^{\circ }$ を得る。

次に $\sin {15}^{\circ }$ を求める。加法定理より $$\sin {15}^{\circ }=\sin ({45}^{\circ }-{30}^{\circ })$$ $$=\sin {45}^{\circ }\cos {30}^{\circ }-\cos {45}^{\circ }\sin {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$$である。よって $$\pi >12\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}=3(\sqrt{6}-\sqrt{2})$$ である。

ここで根号を分数で評価する。 $${\left({\displaystyle \frac{22}{9}}\right)}^2={\displaystyle \frac{484}{81}}<{\displaystyle \frac{486}{81}}=6$$ だから $$\sqrt{6}>{\displaystyle \frac{22}{9}}$$ である。また $${\left({\displaystyle \frac{17}{12}}\right)}^2={\displaystyle \frac{289}{144}}>{\displaystyle \frac{288}{144}}=2$$ だから $$\sqrt{2}<{\displaystyle \frac{17}{12}}$$ である。したがって$$\sqrt{6}-\sqrt{2}>{\displaystyle \frac{22}{9}}-{\displaystyle \frac{17}{12}}={\displaystyle \frac{88-51}{36}}={\displaystyle \frac{37}{36}}$$であり、$$\pi >3(\sqrt{6}-\sqrt{2})>3\cdot {\displaystyle \frac{37}{36}}={\displaystyle \frac{37}{12}}$$ である。

最後に $${\displaystyle \frac{37}{12}}>{\displaystyle \frac{366}{120}}={\displaystyle \frac{61}{20}}=3.05$$ である。よって $\pi >3.05$ が示された。

$$\pi \mathrm{/}4={\int }_0^1(1+x^2{)}^{-1}dx$$を用いる。
有限等比級数の余りの符号から被積分関数を12項の多項式で下から押さえ、
積分後は6つの正の分数を簡単な千分率で評価する。

$${\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}dx$$である。有限等比級数の公式から$${\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}=1-x^2+x^4-\cdots +x^{20}-x^{22}+{\displaystyle \frac{x^{24}}{1+x^2}}\mathrm{.}$$$0\leqq x\leqq 1$ では最後の項が非負だから$${\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}\geqq 1-x^2+x^4-\cdots +x^{20}-x^{22}\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{\pi }{4}}}& {\displaystyle >1-{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{7}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{21}}-{\displaystyle \frac{1}{23}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{35}}+{\displaystyle \frac{2}{99}}+{\displaystyle \frac{2}{195}}+{\displaystyle \frac{2}{323}}+{\displaystyle \frac{2}{483}}\mathrm{.}}\end{array}$$各項を下から評価すると$${\displaystyle \frac{2}{3}}>{\displaystyle \frac{666}{1000}},{\displaystyle \frac{2}{35}}>{\displaystyle \frac{57}{1000}},{\displaystyle \frac{2}{99}}>{\displaystyle \frac{20}{1000}},$$$${\displaystyle \frac{2}{195}}>{\displaystyle \frac{10}{1000}},{\displaystyle \frac{2}{323}}>{\displaystyle \frac{6}{1000}},{\displaystyle \frac{2}{483}}>{\displaystyle \frac{4}{1000}}\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{\pi }{4}}>{\displaystyle \frac{763}{1000}}>{\displaystyle \frac{61}{80}}\mathrm{.}$$両辺を4倍して$$\pi >{\displaystyle \frac{61}{20}}=3.05$$を得る。