東京大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
座標平面に、原点 $O$ を中心とする半径1の円をとる。正の $x$ 軸を始線とし、反時計回りを正の向き、時計回りを負の向きとする。

一般角 $\theta$ について、正の $x$ 軸から角 $\theta$ だけ回転した半直線と単位円との交点を $P$ とする。この点 $P$ の座標を $P=(X,Y)$ とするとき $$\cos \theta =X,\sin \theta =Y$$ と定義する。すなわち、一般角 $\theta$ の余弦は単位円上の対応する点の $x$ 座標、正弦は $y$ 座標である。この定義では、$\theta$ が負の角や ${360}^{\circ }$ をこえる角であっても、対応する半直線と単位円の交点が一意に定まるので、$\sin \theta$、$\cos \theta$ が定義される。

(2)
角 $\alpha$ に対応する単位円上の点の位置ベクトルを $$\vec{u}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$$ とする。これは角 $\alpha$ の方向を向く長さ1のベクトルである。また、$\vec{u}$ を反時計回りに ${90}^{\circ }$ 回転したベクトルを $$\vec{v}=(-\sin \alpha ,\cos \alpha )$$ とおく。$\vec{v}$ も長さ1で、$\vec{u}$ と垂直である。

角 $\alpha$ の方向を新しい基準方向と見たとき、そこからさらに角 $\beta$ だけ回した方向の単位ベクトルは、(1)の定義により $\cos \beta \vec{u}+\sin \beta \vec{v}$ で表される。この方向は、もとの座標平面では角 $\alpha +\beta$ の方向である。したがって$$(\cos (\alpha +\beta ),\sin (\alpha +\beta ))=\cos \beta (\cos \alpha ,\sin \alpha )+\sin \beta (-\sin \alpha ,\cos \alpha )$$である。

右辺を成分ごとに計算すると$$\cos \beta (\cos \alpha ,\sin \alpha )+\sin \beta (-\sin \alpha ,\cos \alpha )=(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta ,\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta )$$である。よって成分を比較して $$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta ,$$ $$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$$ を得る。これは一般角 $\alpha ,\beta$ に対して成り立つ。

複素数平面上で、$\cos \alpha +i\sin \alpha$ を掛ける写像が長さを保ち、正の $x$ 軸を角 $\alpha$ の方向へ移す回転であることを座標計算から確かめる。その写像を角 $\beta$ の単位ベクトルへ作用させ、実部と虚部を読む。

(1)
原点 $O$ を中心とする単位円を取り、正の $x$ 軸を始線、反時計回りを正とする。角 $\theta$ の動径と単位円との交点を $P=(X,Y)$ とするとき$$\cos \theta =X,\sin \theta =Y$$と定める。

(2)
複素数 $$w=\cos \alpha +i\sin \alpha$$ を考える。任意の $z=x+yi$ に対し$$wz=(x\cos \alpha -y\sin \alpha )+i(x\sin \alpha +y\cos \alpha )$$である。この写像は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }wz{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =(x\cos \alpha -y\sin \alpha {)}^2+(x\sin \alpha +y\cos \alpha {)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^2+y^2=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2}\end{array}$$より長さを保つ。また $1$ を $w$ へ移し、行列式に相当する向きも正なので、平面を反時計回りに角 $\alpha$ だけ回す写像である。

ここで $z=\cos \beta +i\sin \beta$ とすれば、$wz$ は角 $\alpha +\beta$ の単位ベクトルを表す。一方、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle wz}& {\displaystyle =(\cos \alpha +i\sin \alpha )(\cos \beta +i\sin \beta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +i(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta )}\end{array}$$である。単位円上の点の実部・虚部を比較して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \cos (\alpha +\beta )}& {\displaystyle =\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta ,}\\ {\displaystyle \sin (\alpha +\beta )}& {\displaystyle =\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }\end{array}$$を得る。