東京大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

三角形 $OPQ$ の面積を求める。$O=(0,0)$、$P=(1,1)$、$Q=(t,1\mathrm{/}t)$ であるから、座標による面積公式より$$a(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid 1\cdot {\displaystyle \frac{1}{t}}-1\cdot t\mid ={\displaystyle \frac{1}{2}}(t-{\displaystyle \frac{1}{t}})$$である。$t>1$ なのでこれは正である。

次に $b(t)$ を求める。直線 $OP$ は $y=x$ であり、直線 $OQ$ は傾き $(1\mathrm{/}t)\mathrm{/}t=1\mathrm{/}{t}^2$ だから $$y={\displaystyle \frac{x}{t^2}}$$ である。 $0\leqq x\leqq 1$ では、囲まれた領域は直線 $OP$ と直線 $OQ$ の間にある。$1\leqq x\leqq t$ では、上側が双曲線 $y=1\mathrm{/}x$、下側が直線 $y=x\mathrm{/}{t}^2$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b(t)}& {\displaystyle ={\int }_0^1(x-{\displaystyle \frac{x}{t^2}})dx+{\int }_1^t({\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{x}{t^2}})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-{\displaystyle \frac{1}{t^2}}){\displaystyle \frac{1}{2}}+\log t-{\displaystyle \frac{1}{t^2}}\cdot {\displaystyle \frac{t^2-1}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\log t\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$c(t)={\displaystyle \frac{b(t)}{a(t)}}={\displaystyle \frac{\log t}{(t-1\mathrm{/}t)\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{2t\log t}{t^2-1}}$$である。

これを微分する。分母は $t>1$ で正であり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle c^{\mathrm{\prime }}(t)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(2\log t+2)(t^2-1)-2t\log t\cdot 2t}{(t^2-1{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2\{(t^2-1)-(t^2+1)\log t\}}{(t^2-1{)}^2}}}\end{array}$$である。

したがって、$c^{\mathrm{\prime }}(t)<0$ を示すには $$\log t>{\displaystyle \frac{t^2-1}{t^2+1}}$$ を示せばよい。そこで $$h(t)=\log t-{\displaystyle \frac{t^2-1}{t^2+1}}$$ とおく。微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle h^{\mathrm{\prime }}(t)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{t}}-{\displaystyle \frac{2t(t^2+1)-(t^2-1)2t}{(t^2+1{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{t}}-{\displaystyle \frac{4t}{(t^2+1{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(t^2+1{)}^2-4t^2}{t(t^2+1{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(t^2-1{)}^2}{t(t^2+1{)}^2}}>0}\end{array}$$である。また $t\to 1+0$ のとき $h(t)\to 0$ である。よって $t>1$ では $h(t)>0$ すなわち $$\log t>{\displaystyle \frac{t^2-1}{t^2+1}}$$ が成り立つ。

以上より $(t^2-1)-(t^2+1)\log t<0$ であり、分母 $(t^2-1{)}^2$ は正であるから $c^{\mathrm{\prime }}(t)<0$ である。したがって $c(t)$ は $t>1$ においてつねに減少する。

面積比を求めた後 $t=e^u$ と置く。
比の逆数を対称な指数関数の積分平均として表し、
被積分関数が $u$ とともに増えることから単調性を示す。

座標による三角形の面積と領域の積分から$$a(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}(t-{\displaystyle \frac{1}{t}}),b(t)=\log t\mathrm{.}$$したがって$$c(t)={\displaystyle \frac{2t\log t}{t^2-1}}\mathrm{.}$$$t=e^u(u>0)$ とおくと$$c(e^u)={\displaystyle \frac{2u}{e^u-e^{-u}}}\mathrm{.}$$ここで$$H(u)={\displaystyle \frac{e^u-e^{-u}}{2u}}={\int }_0^1{\displaystyle \frac{e^{us}+e^{-us}}{2}}ds$$と書ける。$s>0,u>0$ に対して被積分関数を $u$ で微分すると$${\displaystyle \frac{s}{2}}(e^{us}-e^{-us})>0.$$よって $H(u)$ は $u>0$ で単調増加する。$$c(e^u)={\displaystyle \frac{1}{H(u)}}$$なので $c(e^u)$ は単調減少する。
$u=\log t$ は $t>1$ で単調増加するから、
$c(t)$ も $t>1$ でつねに減少する。