東京大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

点 $P$ の表す複素数を $$z={\displaystyle \frac{14(t-3)}{(1-i)t-7}}$$ とおく。

(1) $A$ の表す複素数は6、$B$ の表す複素数は $7+7i$ である。$P$ から $A$, $B$ へ向かうベクトルは、複素数でそれぞれ $6-z,7+7i-z$ と表される。したがって、2つの向きの差は比 ${\displaystyle \frac{6-z}{7+7i-z}}$ の偏角で分かる。

まず通分して整理する。分母を $D_0=(1-i)t-7$ とおくと $$6-z=6-{\displaystyle \frac{14(t-3)}{D_0}}={\displaystyle \frac{6D_0-14(t-3)}{D_0}}$$ である。分子は $$6\{(1-i)t-7\}-14(t-3)=6t-6it-42-14t+42=-2t(4+3i)$$ だから $$6-z={\displaystyle \frac{-2t(4+3i)}{D_0}}$$ である。同様に $$7+7i-z={\displaystyle \frac{(7+7i)D_0-14(t-3)}{D_0}}$$ であり、分子は $(7+7i)\{(1-i)t-7\}-14(t-3)$ $$=14t-49-49i-14t+42=-7(1+7i)$$ である。よって $$7+7i-z={\displaystyle \frac{-7(1+7i)}{D_0}}$$ である。

したがって $${\displaystyle \frac{6-z}{7+7i-z}}={\displaystyle \frac{2t(4+3i)}{7(1+7i)}}$$ である。ここで $${\displaystyle \frac{2(4+3i)}{1+7i}}=1-i$$ だから $${\displaystyle \frac{6-z}{7+7i-z}}={\displaystyle \frac{t}{7}}(1-i)$$ である。$t>0$ なので、この比の偏角は $-\pi \mathrm{/}4$ である。したがって2つの半直線 $PA$, $PB$ のなす角は $$\mathrm{\angle }APB={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ である。

(2) $z=x+yi$ とおく。分母を有理化すると $$z={\displaystyle \frac{14(t-3)\{(t-7)+it\}}{(t-7{)}^2+t^2}}$$ である。したがって$$x={\displaystyle \frac{14(t-7)(t-3)}{2t^2-14t+49}},y={\displaystyle \frac{14t(t-3)}{2t^2-14t+49}}$$である。ここで $$D=2t^2-14t+49=(t-7{)}^2+t^2>0$$ である。

したがって$$O{P}^2=x^2+y^2={\displaystyle \frac{196(t-3{)}^2\{(t-7{)}^2+t^2\}}{D^2}}={\displaystyle \frac{196(t-3{)}^2}{D}}$$である。$OP$ の最大化は $O{P}^2$ の最大化と同じなので $$R(t)={\displaystyle \frac{196(t-3{)}^2}{2t^2-14t+49}}$$ とおく。

微分すると $$R^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{392(t-3)(28-t)}{(2t^2-14t+49{)}^2}}$$ である。分母は常に正だから、$R^{\mathrm{\prime }}(t)$ の符号は $(t-3)(28-t)$ で決まる。よって$$0<t<3\text{ で }{R}^{\mathrm{\prime }}(t)<0,3<t<28\text{ で }{R}^{\mathrm{\prime }}(t)>0,28<t\text{ で }{R}^{\mathrm{\prime }}(t)<0$$である。

また$$\underset{t\to +0}{\lim }R(t)={\displaystyle \frac{196\cdot 9}{49}}=36,\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }R(t)=98$$であり、$$R(28)={\displaystyle \frac{196\cdot {25}^2}{2\cdot {28}^2-14\cdot 28+49}}=100$$ である。したがって最大値は $t=28$ で生じる。よって求める $t$ は $t=28$ である。

別解。(1)は実座標に直しても確認できる。上の $x,y$ を用いると $$\overrightarrow{PA}=(6-x,-y),\overrightarrow{PB}=(7-x,7-y)$$ であり、内積は $$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}={\displaystyle \frac{350t}{2t^2-14t+49}}$$ である。また、2つのベクトルで作る平行四辺形の面積に対応する量も $$(6-x)(7-y)-(-y)(7-x)={\displaystyle \frac{350t}{2t^2-14t+49}}$$ である。どちらも正なので $0<\mathrm{\angle }APB<\pi \mathrm{/}2$ であり、$\tan \mathrm{\angle }APB=1$ から同じく $\mathrm{\angle }APB=\pi \mathrm{/}4$ を得る。

複素数の比から $\mathrm{\angle }APB$ が一定であることを確認した後、
点 $P$ の軌跡を円として同定する。原点から円上の点までの最大距離を
中心と半径だけで求め、対応する $t$ を代入で決める。

(1)
点 $P$ の複素数を $z$ とする。直接整理すると$${\displaystyle \frac{6-z}{7+7i-z}}={\displaystyle \frac{t}{7}}(1-i)\mathrm{.}$$$t>0$ だから右辺の偏角は $-\pi \mathrm{/}4$ である。したがって$$\mathrm{\angle }APB={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{.}$$(2)
$A=(6,0),B=(7,7)$ なので$$AB=5\sqrt{2}\mathrm{.}$$弦 $AB$ を円周角 $\pi \mathrm{/}4$ で見る円の半径 $R$ は$$5\sqrt{2}=2R\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$より $R=5$ である。弦の中点は $(13\mathrm{/}2,7\mathrm{/}2)$ であり、
この弦に対応する2円の中心は $(3,4)$ と $(10,3)$ である。

$t=3$ のとき $P=O=(0,0)$ となるので、実際の軌跡を含む円は$$(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=25$$である。中心 $C=(3,4)$ は $OC=5$ を満たすから、
円上で $OP$ が最大になる点は半直線 $OC$ 上の遠い方の点$$P=(6,8)$$であり、最大距離は $10$ である。

一方、パラメータ表示を実部・虚部に分けると$$x={\displaystyle \frac{14(t-7)(t-3)}{2t^2-14t+49}},y={\displaystyle \frac{14t(t-3)}{2t^2-14t+49}}\mathrm{.}$$$P=(6,8)$ を代入すると、たとえば $y\mathrm{/}x=4\mathrm{/}3$ から$${\displaystyle \frac{t}{t-7}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$$となり、$t=28$ を得る。したがって求める値は$$t=28.$$