東京大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

まず円の条件を書き換える。$z\mathrm{\ne }0$ について $$\mid z-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mid ={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ は、両辺を2乗して $$(z-{\displaystyle \frac{1}{2}})(\bar{z}-{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ すなわち $$z\bar{z}={\displaystyle \frac{z+\bar{z}}{2}}$$ と同値である。さらに $z\bar{z}$ で割ると $${\displaystyle \frac{1}{z}}+{\displaystyle \frac{1}{\bar{z}}}=2$$ であり、これは $1\mathrm{/}z$ の実部が $1$ であることと同値である。

十分性を示す。$P(\alpha ),Q(\beta )$ がこの円周上にあるとする。すると実数 $s,t$ を用いて $${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}=1+is,{\displaystyle \frac{1}{\beta }}=1+it$$ と書ける。$\alpha \mathrm{\ne }\beta$ より $s\mathrm{\ne }t$ である。このとき$$\beta -\alpha ={\displaystyle \frac{1}{1+it}}-{\displaystyle \frac{1}{1+is}}={\displaystyle \frac{i(s-t)}{(1+is)(1+it)}}=i(s-t)\alpha \beta$$である。

まず $\alpha \beta$ が直線 $PQ$ 上にあることを示す。直線上にあるためには ${\displaystyle \frac{\alpha \beta -\alpha }{\beta -\alpha }}$ が実数であればよい。実際、上の式を用いると$${\displaystyle \frac{\alpha \beta -\alpha }{\beta -\alpha }}={\displaystyle \frac{\alpha (\beta -1)}{i(s-t)\alpha \beta }}={\displaystyle \frac{\beta -1}{i(s-t)\beta }}$$であり、$1\mathrm{/}\beta =1+it$ から $$(\beta -1)\mathrm{/}\beta =1-1\mathrm{/}\beta =-it$$ なので$${\displaystyle \frac{\alpha \beta -\alpha }{\beta -\alpha }}={\displaystyle \frac{-it}{i(s-t)}}=-{\displaystyle \frac{t}{s-t}}$$となる。これは実数である。

次に、原点から $\alpha \beta$ へ向かう方向が直線 $PQ$ に垂直であることを示す。直線 $PQ$ の方向は $\beta -\alpha$ であるから、$${\displaystyle \frac{\alpha \beta }{\beta -\alpha }}={\displaystyle \frac{\alpha \beta }{i(s-t)\alpha \beta }}={\displaystyle \frac{1}{i(s-t)}}$$は純虚数である。したがって $O$ と $\alpha \beta$ を結ぶ直線は $PQ$ に垂直である。以上より、原点から直線 $l$ に下ろした垂線の足は $w=\alpha \beta$ である。

必要性を示す。逆に $w=\alpha \beta$ であるとする。垂線の足は直線 $l$ 上にあるから、$\alpha \beta$ は直線 $PQ$ 上にある。よって ${\displaystyle \frac{\alpha \beta -\alpha }{\beta -\alpha }}$ は実数である。また $O$ から $\alpha \beta$ への方向は $l$ に垂直なので ${\displaystyle \frac{\alpha \beta }{\beta -\alpha }}$ は純虚数である。

したがって、前者を後者で割った $${\displaystyle \frac{\alpha \beta -\alpha }{\alpha \beta }}=1-{\displaystyle \frac{1}{\beta }}$$ は純虚数である。よって $1\mathrm{/}\beta$ の実部は $1$ であり、上で示した円の条件から $Q(\beta )$ は中心 $1\mathrm{/}2$、半径 $1\mathrm{/}2$ の円周上にある。

同様に、$\alpha \beta$ が直線 $PQ$ 上にあることから ${\displaystyle \frac{\alpha \beta -\beta }{\alpha -\beta }}$ は実数であり、垂直条件から ${\displaystyle \frac{\alpha \beta }{\alpha -\beta }}$ は純虚数である。両者の商 $${\displaystyle \frac{\alpha \beta -\beta }{\alpha \beta }}=1-{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$$ は純虚数なので、$1\mathrm{/}\alpha$ の実部も $1$ である。したがって $P(\alpha )$ も同じ円周上にある。

以上により、$w=\alpha \beta$ であるための必要十分条件は、$P(\alpha ),Q(\beta )$ が中心 $1\mathrm{/}2$、半径 $1\mathrm{/}2$ の円周上にあることである。

中心 $1\mathrm{/}2$、半径 $1\mathrm{/}2$ の円周上の点を $(1+e^{i\theta })\mathrm{/}2$ と表す。弦の方向と積 $\alpha \beta$ の方向を半角公式で比較し、十分性を幾何的に示す。必要性は垂足の直線上条件と直交条件を逆用する。

まず十分性を示す。円周上の原点でない点は、適当な実数 $u,v$ を用いて$$\alpha ={\displaystyle \frac{1+e^{iu}}{2}}=e^{iu\mathrm{/}2}\cos {\displaystyle \frac{u}{2}},\beta ={\displaystyle \frac{1+e^{iv}}{2}}=e^{iv\mathrm{/}2}\cos {\displaystyle \frac{v}{2}}$$と表せる。$\alpha \mathrm{\ne }\beta$ だから $\sin ((v-u)\mathrm{/}2)\mathrm{\ne }0$ であり、$$\beta -\alpha ={\displaystyle \frac{e^{iv}-e^{iu}}{2}}=i{e}^{i(u+v)\mathrm{/}2}\sin {\displaystyle \frac{v-u}{2}}\mathrm{.}$$一方$$\alpha \beta =e^{i(u+v)\mathrm{/}2}\cos {\displaystyle \frac{u}{2}}\cos {\displaystyle \frac{v}{2}}\mathrm{.}$$したがって $(\beta -\alpha )\mathrm{/}(\alpha \beta )$ は純虚数であり、
原点と $\alpha \beta$ を結ぶ直線は弦 $PQ$ に垂直である。

さらに$$\alpha \beta -\alpha =\alpha (\beta -1)=i{e}^{i(u+v)\mathrm{/}2}\cos {\displaystyle \frac{u}{2}}\sin {\displaystyle \frac{v}{2}}$$なので$${\displaystyle \frac{\alpha \beta -\alpha }{\beta -\alpha }}={\displaystyle \frac{\cos (u\mathrm{/}2)\sin (v\mathrm{/}2)}{\sin ((v-u)\mathrm{/}2)}}$$は実数である。よって $\alpha \beta$ は直線 $PQ$ 上にある。
以上より垂線の足は $w=\alpha \beta$ である。

次に必要性を示す。$w=\alpha \beta$ が垂足なら$${\displaystyle \frac{\alpha \beta -\alpha }{\beta -\alpha }}\in \mathbb{R},{\displaystyle \frac{\alpha \beta }{\beta -\alpha }}\in i\mathbb{R}\mathrm{.}$$第1の量を第2の量で割ると$$1-{\displaystyle \frac{1}{\beta }}\in i\mathbb{R}\mathrm{.}$$したがって $$\mathrm{Re}(1\mathrm{/}\beta )=1$$ である。同様に、
$(\alpha \beta -\beta )\mathrm{/}(\alpha -\beta )$ を
$\alpha \beta \mathrm{/}(\alpha -\beta )$ で割れば$$\mathrm{Re}(1\mathrm{/}\alpha )=1$$ を得る。

原点でない複素数 $z$ について$$\mathrm{Re}{\displaystyle \frac{1}{z}}=1⟺\mid z-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mid ={\displaystyle \frac{1}{2}}$$であるから、$P,Q$ はともに指定された円周上にある。これで必要十分性が示された。