東京大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $$s=[\sqrt{p}]$$ とおく。$l=1$ では $A=1,B=-s$ とすればよい。$${\alpha }^l=A\sqrt{p}+B$$ と表せたとすると$${\alpha }^{l+1}=(A\sqrt{p}+B)(\sqrt{p}-s)=(B-As)\sqrt{p}+(Ap-Bs),$$右辺の二係数は整数である。よって帰納法により示された。

(2) $$\alpha =\sqrt{p}-s$$, $$\beta =-\sqrt{p}-s$$ とおくと $0<\alpha <1$, $\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }>1$ である。(1)の係数は共役を取って$$A_l={\displaystyle \frac{{\alpha }^l-{\beta }^l}{2\sqrt{p}}},B_l={\displaystyle \frac{{\alpha }^l+{\beta }^l}{2}}$$と表せる。奇数 $l$ を大きくすれば $A_l>0,-B_l>0$, $A_l\to \mathrm{\infty }$, ${\alpha }^l\to 0$ である。したがって$$A_l\geqq N,{\alpha }^l\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{p+1}}{N}}$$を同時に満たす奇数 $l$ を取れる。格子点 $Q=(A_l,-B_l)$ と直線との距離は$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\sqrt{p}{A}_l+B_l\mathrm{\mid }}{\sqrt{p+1}}}={\displaystyle \frac{{\alpha }^l}{\sqrt{p+1}}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{N}}\mathrm{.}$$またその $x$ 座標は $A_l\geqq N$ である。

(3) $${\displaystyle \frac{\sqrt{p+1}}{N}}+{\displaystyle \frac{q}{2\sqrt{p}N}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{M}}$$となるように十分大きな自然数 $N$ を取る。(2)の構成で得た第1象限の格子点を $Q=(X,Y)$ とすると$$X\geqq N,\mathrm{\mid }Y-\sqrt{p}X\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{p+1}}{N}}\mathrm{.}$$双曲線上の点$$P=(X,\sqrt{p{X}^2+q})$$を取れば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle PQ}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\sqrt{p{X}^2+q}-Y\mathrm{\mid }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \leqq \mathrm{\mid }\sqrt{p}X-Y\mathrm{\mid }+{\displaystyle \frac{q}{\sqrt{p{X}^2+q}+\sqrt{p}X}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{p+1}}{N}}+{\displaystyle \frac{q}{2\sqrt{p}N}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{M}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって所要の点が存在する。

(4) 格子点$$Q=(305,682)$$を取る。$$P=(305,\sqrt{465127})$$ とすれば$$(\sqrt{465127}{)}^2-5\cdot {305}^2=2$$なので $P$ は双曲線上にある。また ${682}^2=465124$ だから$$PQ=\sqrt{465127}-682={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{465127}+682}}<{\displaystyle \frac{3}{1364}}<{\displaystyle \frac{1}{100}}\mathrm{.}$$したがってこの $Q$ が一例である。

(1) は二項展開で $\sqrt{p}$ の偶数冪と奇数冪を分離する。
(2)は $\sqrt{p},2\sqrt{p},\dots$ の小数部分を鳩の巣原理で近づけ、
必要ならその近似を整数倍して $x$ 座標を大きくする。
(3)は直線上の対応点を経由して双曲線までの距離を評価する。

(1) $$s=[\sqrt{p}]$$ とする。二項展開$$(\sqrt{p}-s{)}^l=\sum _{k=0}^l{C}_{l,k}(\sqrt{p}{)}^k(-s{)}^{l-k}$$で、$k$ が偶数の項は整数、奇数の項は整数と $\sqrt{p}$ の積である。
したがって整数 $A,B$ を用いて$$(\sqrt{p}-s{)}^l=A\sqrt{p}+B$$と表せる。

(2) $$K\geqq N^2\sqrt{p+1}$$となる自然数 $K$ を取る。$$0,\{\sqrt{p}\},\{2\sqrt{p}\},\dots ,\{K\sqrt{p}\}$$を長さ $1\mathrm{/}K$ の $K$ 個の区間に分ける。鳩の巣原理により、
ある $1\leqq d\leqq K$ と整数 $e$ が存在して$$\mathrm{\mid }d\sqrt{p}-e\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{1}{K}}$$となる。 $\sqrt{p}$ は無理数なので左辺は0ではない。$$L=\lceil {\displaystyle \frac{N}{d}}\rceil$$とする。$1\leqq d$ より $L\leqq N$ だから$${\displaystyle \frac{L}{K}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{N\sqrt{p+1}}}\mathrm{.}$$格子点 $Q=(Ld,Le)$ は $x$ 座標が $N$ 以上であり、
直線 $$y=\sqrt{p}x$$ までの距離は$${\displaystyle \frac{L\mathrm{\mid }d\sqrt{p}-e\mathrm{\mid }}{\sqrt{p+1}}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{N}}\mathrm{.}$$(3)
(2)を、直線までの縦方向の誤差が$$\mathrm{\mid }Y-\sqrt{p}X\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{p+1}}{N}}$$となる格子点 $Q=(X,Y)$ に適用する。$N$ を$${\displaystyle \frac{\sqrt{p+1}}{N}}+{\displaystyle \frac{q}{2\sqrt{p}N}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{M}}$$となるほど大きく取る。双曲線上の点$$P=(X,\sqrt{p{X}^2+q})$$に対して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle PQ}& {\displaystyle \leqq \mathrm{\mid }\sqrt{p}X-Y\mathrm{\mid }+\sqrt{p{X}^2+q}-\sqrt{p}X}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{p+1}}{N}}+{\displaystyle \frac{q}{2\sqrt{p}X}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{M}}\mathrm{.}}\end{array}$$(4)$$Q=(305,682)$$と取る。$5\cdot {305}^2+2=465127$ だから$$P=(305,\sqrt{465127})$$は双曲線上にある。また ${682}^2=465124$ より$$PQ=\sqrt{465127}-682={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{465127}+682}}<{\displaystyle \frac{3}{1364}}<{\displaystyle \frac{1}{100}}\mathrm{.}$$したがってこの $Q$ が条件を満たす。