東京大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$P(x)$ の $x^j$ の係数を $a_j$，$(1+x{)}^{k}P(x)$ の $x^j$ の係数を $b_j$ とおく。仮定より $b_0,b_1,\dots ,b_n$ はすべて整数である。 $(1+x{)}^k$ を掛けたときの $x^j$ の係数は，$P(x)$ の $j$ 次以下の係数だけから決まる。具体的には，$0\leqq j\leqq n$ について$$b_j=a_j+\sum _{i=1}^{\min (k,j)}{}_k{\mathrm{C}}_i{a}_{j-i}$$である。

まず $j=0$ では $b_0=a_0$ であるから，$a_0$ は整数である。

次に，ある $j$ について $a_0,a_1,\dots ,a_{j-1}$ がすべて整数であると仮定する。このとき$$\sum _{i=1}^{\min (k,j)}{}_k{\mathrm{C}}_i{a}_{j-i}$$は整数である。また $b_j$ も整数であるから$$a_j=b_j-\sum _{i=1}^{\min (k,j)}{}_k{\mathrm{C}}_i{a}_{j-i}$$は整数である。

よって数学的帰納法により，$a_0,a_1,\dots ,a_n$ はすべて整数である。したがって $P(x)$ の $n$ 次以下の項の係数はすべて整数である。

係数関係は三角型で、$b_0$ から順に $a_j$ を復元できる。

$(1+x{)}^{-k}$ の $n$ 次までの係数がすべて整数であることを使う。有限多項式 $R_n(x)$ を作り、$(1+x{)}^k{R}_n(x)\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{n+1})$ から、$P$ の低次部分を整数係数多項式の積として復元する。

$$R_n(x)=\sum _{j=0}^n(-1{)}^j{}_{k+j-1}{\mathrm{C}}_j{x}^j$$とおく。負の指数の二項展開を公式として使わずとも、係数を順に比較
すれば$$(1+x{)}^k{R}_n(x)=1+x^{n+1}S(x)$$を満たすある多項式 $S(x)$ が存在することを帰納的に確かめられる。
特に $R_n(x)$ の係数はすべて整数である。

$Q(x)=(1+x{)}^{k}P(x)$ とおく。仮定により $Q(x)$ の $n$ 次以下の
係数は整数である。上式を $P(x)$ に掛けると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle R_n(x)Q(x)}& {\displaystyle =R_n(x)(1+x{)}^{k}P(x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =P(x)+x^{n+1}S(x)P(x)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $P(x)$ と $R_n(x)Q(x)$ は $n$ 次以下の係数が一致する。
一方、$R_n$ の係数と $Q$ の $n$ 次以下の係数は整数なので、
その積の $n$ 次以下の係数も整数である。よって $P(x)$ の
$n$ 次以下の係数はすべて整数である。