東京大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $$PQ=2\sin ({\displaystyle \frac{\theta }{2}})$$ である。$\mathrm{△}ABQ$ と $\mathrm{△}OPQ$ は頂点 $Q$ の角を共有するから、面積比は$${\displaystyle \frac{[ABQ]}{[OPQ]}}={\displaystyle \frac{AQ}{PQ}}\cdot {\displaystyle \frac{BQ}{OQ}}={\displaystyle \frac{ab}{2\sin ({\displaystyle \frac{\theta }{2}})}}\mathrm{.}$$$AB$ が面積を二等分するので左辺は ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ であり$$ab=\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$$を得る。

(2) $$s=\sin ({\displaystyle \frac{\theta }{2}})$$ とおく。$$\mathrm{\angle }AQB={\displaystyle \frac{\pi -\theta }{2}}$$ なので、その余弦は $s$ である。余弦定理と $ab=s$ から$$A{B}^2=a^2+b^2-2abs=a^2+{\displaystyle \frac{s^2}{a^2}}-2s^2\mathrm{.}$$また $A\in PQ,B\in OQ$ より$$0<a\leqq 2s,0<b={\displaystyle \frac{s}{a}}\leqq 1,$$すなわち $s\leqq a\leqq 2s$ である。

制約がなければ $a^2+{\displaystyle \frac{s^2}{a^2}}$ は $$a=\sqrt{s}$$ で最小となる。これが $a\leqq 2s$ を満たす条件は $$s\geqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$$、すなわち $$PQ\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。このとき$$f(\theta )=2s-2s^2=2\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}(1-\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}})\mathrm{.}$$一方 $$s<{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ では区間の右端 $a=2s$ で最小となり、$$b={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ だから$$f(\theta )=4s^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}-2s^2={\displaystyle \frac{1}{4}}+2{\sin }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}\mathrm{.}$$(3) $0<{\theta }_0<\pi$ かつ $\sin ({\theta }_0\mathrm{/}2)=1\mathrm{/}4$ を満たす角 ${\theta }_0$ を定める。$\theta ={\theta }_0$ で両式の値はともに ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ である。左側の導関数は$${\displaystyle \frac{d}{d\theta }}({\displaystyle \frac{1}{4}}+2{\sin }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}})=\sin \theta ,$$右側の導関数は$${\displaystyle \frac{d}{d\theta }}\{2s(1-s)\}=(1-2s)\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}\mathrm{.}$$$$s={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ ではどちらも ${\displaystyle \frac{1}{2}}\cos ({\displaystyle \frac{{\theta }_0}{2}})$ となるので、$f$ は境界でも微分可能である。

$s$ は $\theta$ とともに0から1へ増加する。$f$ は $$s={\displaystyle \frac{1}{2}}$$、すなわち $$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ まで増加し、その後減少する。最大値は$$2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}(1-{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$概形は次の通りである。

条件・検算

制約なしの停留点が線分条件 $s\leqq a\leqq 2s$ に入るかを判定する。接続点では値だけでなく導関数も一致する。

$s=\sin ({\displaystyle \frac{\theta }{2}})$ とし、$ab=s$ を使って $A{B}^2$ を $a$ の一変数関数にする。許容区間 $s\leqq a\leqq 2s$ 上で微分し、停留点が区間内に入るかで場合分けする。

(1)

$\mathrm{△}ABQ$ と $\mathrm{△}OPQ$ の面積比より$${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{AQ}{PQ}}{\displaystyle \frac{BQ}{OQ}}={\displaystyle \frac{ab}{2\sin ({\displaystyle \frac{\theta }{2}})}}\mathrm{.}$$したがって$$ab=\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}\mathrm{.}$$(2)$$s=\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$$とおく。$ab=s$ かつ $A,B$ が線分上にあることから$$s\leqq a\leqq 2s,b={\displaystyle \frac{s}{a}}\mathrm{.}$$余弦定理より$$F(a)=A{B}^2=a^2+{\displaystyle \frac{s^2}{a^2}}-2s^2\mathrm{.}$$微分すると$$F^{\mathrm{\prime }}(a)={\displaystyle \frac{2(a^4-s^2)}{a^3}}\mathrm{.}$$制約がなければ $$a=\sqrt{s}$$ で最小となる。これが $a\leqq 2s$ を満たすのは
$s\geqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$、すなわち $PQ\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$ のときである。よって$$f(\theta )=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{4}}+2s^2& (0<s<{\displaystyle \frac{1}{4}}),\\ 2s(1-s)& ({\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq s<1)\mathrm{.}\end{array}$$(3)$${\displaystyle \frac{ds}{d\theta }}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cos ({\displaystyle \frac{\theta }{2}})>0$$ である。
$s={\displaystyle \frac{1}{4}}$ では両式の値が ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ で一致し、$s$ による導関数も$$4s=1,2-4s=1$$と一致するので、$f$ は微分可能である。$$s<{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ では増加し、$2s(1-s)$ は $$s={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ で最大となる。したがって$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}},\max f(\theta )={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$