東京大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

円環の $x$ における縦断面の高さを$$g(x)=\{\begin{array}{ll}2\{\sqrt{4-x^2}-\sqrt{1-x^2}\}& (\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq 1),\\ 2\sqrt{4-x^2}& (1\leqq \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq 2),\\ 0& (\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\geqq 2)\end{array}$$とする。

(1) ストリップの位置により$$S(a)=\{\begin{array}{ll}2{\displaystyle {\int }_a^{a+1}\{\sqrt{4-x^2}-\sqrt{1-x^2}\}dx}& (-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a<0),\\ 2{\displaystyle {\int }_a^1\{\sqrt{4-x^2}-\sqrt{1-x^2}\}dx+2{\displaystyle {\int }_1^{a+1}\sqrt{4-x^2}dx}}& (0\leqq a<1),\\ 2{\displaystyle {\int }_a^2\sqrt{4-x^2}dx}& (1\leqq a<2)\end{array}$$である。

(2) $S^{\mathrm{\prime }}(a)=g(a+1)-g(a)$ を用いると$$S^{\mathrm{\prime }}(a)=\{\begin{array}{ll}2\{\sqrt{4-(a+1{)}^2}-\sqrt{1-(a+1{)}^2}-\sqrt{4-a^2}+\sqrt{1-a^2}\}& (-{\displaystyle \frac{1}{2}}<a<0),\\ 2\{\sqrt{4-(a+1{)}^2}-\sqrt{4-a^2}+\sqrt{1-a^2}\}& (0\leqq a<1),\\ -2\sqrt{4-a^2}& (1\leqq a<2)\mathrm{.}\end{array}$$なお $$a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ での右微分は0である。

(3) $0\leqq x\leqq 1$ で $g(x)$ は増加し、$1\leqq x\leqq 2$ で減少する。したがって $0<a<1$ では $S^{\mathrm{\prime }}(a)=g(a+1)-g(a)$ は狭義に減少する。また$$S^{\mathrm{\prime }}(0)=2\sqrt{3}-2>0,S^{\mathrm{\prime }}(1)=-2\sqrt{3}<0.$$負の $a$ では $S^{\mathrm{\prime }}(a)\geqq 0$、$1\leqq a<2$ では $S^{\mathrm{\prime }}(a)<0$ なので、最大点は $0<a<1$ にただ1つあり、そこで$$\sqrt{4-(a+1{)}^2}+\sqrt{1-a^2}=\sqrt{4-a^2}$$が成り立つ。1回平方して整理すると$$2\sqrt{\{3-2a-a^2\}(1-a^2)}=a(a+2)\mathrm{.}$$さらに平方して展開すると$$3a^4+4a^3-20a^2-8a+12=0.$$よって求める方程式は$$3x^4+4x^3-20x^2-8x+12=0.$$(4) $x=\sqrt{2}t$ を代入した式を4で割ると$$3t^4+2\sqrt{2}{t}^3-10t^2-2\sqrt{2}t+3=0.$$$t^2$ で割り、$$z=t-{\displaystyle \frac{1}{t}}$$、$t^2+t^{-2}=z^2+2$ を用いると$$3z^2+2\sqrt{2}z-4=0.$$(5) (4)から$$z={\displaystyle \frac{-\sqrt{2}\pm \sqrt{14}}{3}}\mathrm{.}$$最大点では $0<a<1$ だから $$0<t<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ であり、$$z=t-{\displaystyle \frac{1}{t}}<0$$ である。よって$$z=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{14}}{3}}\mathrm{.}$$$t^2-zt-1=0$ の正の解を選び、$a=\sqrt{2}t$ へ戻すと$$a={\displaystyle \frac{\sqrt{26+2\sqrt{7}}-1-\sqrt{7}}{3}}\mathrm{.}$$この値は $0<a<1$ で、平方する前の $S^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ の式も満たす。したがってこれが $S(a)$ を最大にする値である。

条件・検算

移動区間積分の微分は右端断面と左端断面の差になる。平方して得た4次式には余分な根が入り得るため、最後に元の導関数へ戻して確認する。