東京大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $$J=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$とおく。まず $U(y)JU(-y)$ を直接計算する。$$U(-y)=\left(\begin{array}{cc}\cos y& \sin y\\ -\sin y& \cos y\end{array}\right)$$ なので$$U(y)JU(-y)=\left(\begin{array}{cc}\cos 2y& \sin 2y\\ \sin 2y& -\cos 2y\end{array}\right)$$である。

また$$A=\frac{a+b}{2}I+\frac{a-b}{2}J,B=\frac{a+b}{2}I-\frac{a-b}{2}J$$である。ただし $I$ は2次単位行列である。$U(t)IU(-t)=I$ だから $$U(t)AU(-t)-B=\frac{a-b}{2}\{U(t)JU(-t)+J\}$$ である。

したがって $$f(x)=\frac{a-b}{2}Tr(\{U(t)JU(-t)+J\}U(x)JU(-x))$$ である。ここで上の表示から $$Tr\{U(t)JU(-t)U(x)JU(-x)\}=2\cos (2t-2x)$$ であり、また $$Tr\{JU(x)JU(-x)\}=2\cos 2x$$ である。よって $$f(x)=(a-b)\{\cos (2t-2x)+\cos 2x\}$$ となる。和積公式より $$\cos (2t-2x)+\cos 2x=2\cos t\cos (t-2x)$$ だから $$f(x)=2(a-b)\cos t\cos (t-2x)$$ である。 $x$ が実数全体を動くとき、$\cos (t-2x)$ は $-1$ から $1$ までの値をとる。また $a\geqq b$ なので $a-b\geqq 0$ である。したがって最大値は $m(t)=2(a-b)\mathrm{\mid }\cos t\mathrm{\mid }$ である。

(2)
まず、跡 $Tr$ は対角成分の和なので $$Tr(U(t)AU(-t))=Tr(A)=a+b$$ である。したがって $Tr(U(t)AU(-t)+B)=2(a+b)$ である。

次に $Tr(U(t)CU(-t)D)$ を計算する。$C$ は対角行列なので、$U(t)CU(-t)$ の対角成分は $a^c{\cos }^{2}t+b^c{\sin }^{2}t,a^c{\sin }^{2}t+b^c{\cos }^{2}t$ である。$$D=\left(\begin{array}{cc}{b}^{1-c}& 0\\ 0& a^{1-c}\end{array}\right)$$ を右からかけた行列の対角成分の和をとると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle Tr(U(t)CU(-t)D)}& {\displaystyle =b^{1-c}(a^c{\cos }^{2}t+b^c{\sin }^{2}t)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +a^{1-c}(a^c{\sin }^{2}t+b^c{\cos }^{2}t)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(a^c{b}^{1-c}+b^c{a}^{1-c}){\cos }^{2}t+(a+b){\sin }^{2}t}\end{array}$$である。

(1) より $m(t)=2(a-b)\mathrm{\mid }\cos t\mathrm{\mid }$ であるから、示すべき不等式は $2\{(a^c{b}^{1-c}+b^c{a}^{1-c}){\cos }^{2}t+(a+b){\sin }^{2}t\}$ $$\geqq 2(a+b)-2(a-b)\mathrm{\mid }\cos t\mathrm{\mid }$$ と同値である。両辺を2で割り、$$u=\mathrm{\mid }\cos t\mathrm{\mid }(0\leqq u\leqq 1)$$ とおくと、${\cos }^{2}t=u^2$、${\sin }^{2}t=1-u^2$ だから $$(a^c{b}^{1-c}+b^c{a}^{1-c})u^2+(a+b)(1-u^2)\geqq (a+b)-(a-b)u$$ を示せばよい。左辺から右辺を引くと $u\{(a-b)+u(a^c{b}^{1-c}+b^c{a}^{1-c}-a-b)\}$ である。

ここで $$X=a^c{b}^{1-c}+b^c{a}^{1-c}-a-b$$ とおく。$a\geqq b>0$、$0\leqq c\leqq 1$ より $$a^c{b}^{1-c}=b{\left(\frac{a}{b}\right)}^c\geqq b$$ であり、同様に $$b^c{a}^{1-c}=b{\left(\frac{a}{b}\right)}^{1-c}\geqq b$$ である。 $X\geqq 0$ のときは $(a-b)+uX\geqq a-b\geqq 0$ である。$X<0$ のときは、$0\leqq u\leqq 1$ だから $uX\geqq X$ であり、$(a-b)+uX\geqq (a-b)+X$ である。右辺は $$(a-b)+X=a^c{b}^{1-c}+b^c{a}^{1-c}-2b$$ であり、上で示した2つの不等式からこれは0以上である。

したがって、どちらの場合も $(a-b)+uX\geqq 0$ である。さらに $u\geqq 0$ だから $u\{(a-b)+uX\}\geqq 0$ となる。よって、すべての実数 $t$ に対して $$2Tr(U(t)CU(-t)D)\geqq Tr(U(t)AU(-t)+B)-m(t)$$ が成り立つ。