東大 2009年度理系数学第2問｜問題・解答・解説

方針

(1) は条件(ii)から $b$ と $d$ を $a, c, r, s$ で表し， $P = (\begin{array}{cc} 1 & r \\ 0 & 1 \end{array})$ として $P^{- 1} A P$ を直接計算する。(2)は $B = P^{- 1} A P$ より $B^{n} = P^{- 1} A^{n} P$ であり，しかも $P (1, 0)^{T} = (1, 0)^{T}$ であることを使う。(3)は(1)で得た下三角形の形から $B^{n} (1, 0)^{T}$ の成分の漸化式を書く。 $s > 1$ なので，もし $c \neq 0$ なら下成分に $s^{n - 1}$ 程度の成長が残り，(2)の極限0に反する。

解答

(1)

条件(ii)より $A (\begin{array}{c} r \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} a r + b \\ c r + d \end{array}) = s (\begin{array}{c} r \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} s r \\ s \end{array})$ である。したがって $a r + b = s r, c r + d = s$ より $b = r (s - a), d = s - c r$ である。 $P = (\begin{array}{cc} 1 & r \\ 0 & 1 \end{array})$ とおくと $P^{- 1} = (\begin{array}{cc} 1 & - r \\ 0 & 1 \end{array})$ である。まず $A P = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) (\begin{array}{cc} 1 & r \\ 0 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} a & a r + b \\ c & c r + d \end{array}) = (\begin{array}{cc} a & s r \\ c & s \end{array})$ である。よって $B = P^{- 1} A P = (\begin{array}{cc} 1 & - r \\ 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{cc} a & s r \\ c & s \end{array}) = (\begin{array}{cc} a - c r & 0 \\ c & s \end{array})$ である。

(2)

$B = P^{- 1} A P$ であるから，繰り返し掛けると $B^{n} = P^{- 1} A^{n} P$ である。また $P (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array})$ である。したがって $B^{n} (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}) = P^{- 1} A^{n} P (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}) = P^{- 1} A^{n} (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array})$ となる。

条件(iii)より $A^{n} (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} x_{n} \\ y_{n} \end{array})$ であるから $(\begin{array}{c} z_{n} \\ w_{n} \end{array}) = P^{- 1} (\begin{array}{c} x_{n} \\ y_{n} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 1 & - r \\ 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} x_{n} \\ y_{n} \end{array}) = (\begin{array}{c} x_{n} - r y_{n} \\ y_{n} \end{array})$ である。 $x_{n} \to 0$ ， $y_{n} \to 0$ なので $z_{n} = x_{n} - r y_{n} \to 0, w_{n} = y_{n} \to 0$ である。

(3)

(1) の結果を用い， $λ = a - c r$ とおく。このとき $B = (\begin{array}{cc} λ & 0 \\ c & s \end{array})$ である。 $B^{n} (1, 0)^{T} = (z_{n}, w_{n})^{T}$ とし，便宜上 $z_{0} = 1, w_{0} = 0$ とおくと， $(\begin{array}{c} z_{n + 1} \\ w_{n + 1} \end{array}) = B (\begin{array}{c} z_{n} \\ w_{n} \end{array}) = (\begin{array}{c} λ z_{n} \\ c z_{n} + s w_{n} \end{array})$ である。したがって $z_{n + 1} = λ z_{n}, w_{n + 1} = c z_{n} + s w_{n}$ となる。特に $z_{n} = λ^{n}$ である。

(2) より $z_{n} \to 0$ であるから $∣ λ ∣ < 1$ である。

ここで $c \neq 0$ と仮定して矛盾を導く。上の漸化式から $w_{n} = c (λ^{n - 1} + s λ^{n - 2} + s^{2} λ^{n - 3} + \dots + s^{n - 2} λ + s^{n - 1})$ である。両辺を $s^{n - 1}$ で割ると $\frac{w_{n}}{s^{n - 1}} = c {1 + \frac{λ}{s} + {(\frac{λ}{s})}^{2} + \dots + {(\frac{λ}{s})}^{n - 1}}$ である。 $s > 1$ かつ $∣ λ ∣ < 1$ より $∣ \frac{λ}{s} ∣ < 1$ なので，右辺は $\frac{c}{1 - λ / s}$ に近づく。この値は $c \neq 0$ なら0ではない。したがって $w_{n}$ は $s^{n - 1}$ に比例する大きさをもち，0に近づくことはできない。これは(2)の $w_{n} \to 0$ に反する。

よって $c = 0$ である。このとき $λ = a - c r = a$ であり，すでに $∣ λ ∣ < 1$ が分かっているので $c = 0, ∣ a ∣ < 1$ である。

総評

難度6、計算量5。目安時間は20分程度で，誘導通りに行列を変形し，最後は2成分の数列として処理する問題である。(1)では条件(ii)から $b, d$ を消してから掛け算すると計算が軽い。(2)は $P (1, 0)^{T} = (1, 0)^{T}$ を見落とさないことが重要で，これにより条件(iii)の極限をそのまま移せる。(3)では $s > 1$ の成分が残ると下成分が0に収束できない，という一点を漸化式で示す。抽象的な行列用語に逃げず，成分計算で最後まで書くのが安全である。

出典: 東京大学 2009年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東京大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

方針

解答

総評

東京大学 2009年度前期日程第2次学力試験理系数学第2問