東京大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) 長さ $b$ の辺を回転軸としているので，この軸に垂直な断面を考える。各断面では，辺の長さが $a,c$ の長方形が，その1つの頂点を中心として ${90}^{\circ }$ 回転する。

この長方形の対角線の長さを $$d=\sqrt{a^2+c^2}$$ とする。長方形が回転して通過する領域は，もとの長方形の面積 $ac$ に加えて，対角線の先端が描く半径 $d$，中心角 ${90}^{\circ }$ の扇形部分を含む。断面の掃過領域の面積は $$ac+\frac{1}{4}\pi d^2=ac+\frac{\pi }{4}(a^2+c^2)$$ である。

この断面が回転軸方向に長さ $b$ だけ続くので，求める体積は $$V=b\{ac+\frac{\pi }{4}(a^2+c^2)\}$$ である。

(2) $s=a+c$ とおく。$a,b,c>0$ で $a+b+c=1$ だから $0<s<1,b=1-s$ である。また $$a^2+c^2=(a+c{)}^2-2ac=s^2-2ac$$ なので$$ac+\frac{\pi }{4}(a^2+c^2)=ac+\frac{\pi }{4}(s^2-2ac)=\frac{\pi }{4}{s}^2-(\frac{\pi }{2}-1)ac\mathrm{.}$$ここで $$\frac{\pi }{2}-1>0,ac>0$$ であるから $$ac+\frac{\pi }{4}(a^2+c^2)<\frac{\pi }{4}{s}^2$$ である。したがって $$V=(1-s)\{ac+\frac{\pi }{4}(a^2+c^2)\}<\frac{\pi }{4}(1-s)s^2\mathrm{.}$$ 関数 $$g(s)=(1-s)s^2(0<s<1)$$ を考えると $$g^{\mathrm{\prime }}(s)=2s(1-s)-s^2=s(2-3s)$$ である。よって $g(s)$ は $s=\frac{2}{3}$ で最大となり，その値は $$g\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{4}{9}=\frac{4}{27}$$ である。したがって $$V<\frac{\pi }{4}\cdot \frac{4}{27}=\frac{\pi }{27}$$ である。また体積なので $V>0$ である。

上端と下端が実際に近づけられることも確認する。$s$ を $2\mathrm{/}3$ に近づけ，かつ $a,c$ の一方を0に近づければ，$ac$ は0に近づき，$V$ は $\frac{\pi }{27}$ にいくらでも近づく。一方，$b$ を0に近づける，または $s$ を0に近づければ，$V$ は0にいくらでも近づく。領域 $a,b,c>0$，$a+b+c=1$ は連結で，$V$ は連続に変化するから，その間の値もすべてとる。

よって体積のとりうる値の範囲は $$0<V<\frac{\pi }{27}$$ である。

回転軸に垂直な断面

長方形の掃過面積を求め、軸方向の長さ $b$ を掛ける。

回転軸に垂直な $ac$ 長方形を極座標で見る。長方形の対角線がなす角を $\alpha$ とし、90度の掃過後に各極角方向へ到達する最大半径を3区間に分けて面積積分する。

(1) 回転軸を原点とする断面で、もとの長方形を$$0\leqq x\leqq a,0\leqq y\leqq c$$とおく。対角線の長さを $$d=\sqrt{a^2+c^2}$$、対角線の偏角を $\alpha$ とすれば$$\tan \alpha =\frac{c}{a}\mathrm{.}$$長方形を反時計回りに90度掃過した領域を、原点からの極角 $\varphi$ で切る。各方向の最大半径は$$\rho (\varphi )=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{a}{\cos \varphi }}& (0\leqq \varphi \leqq \alpha ),\\ d& (\alpha \leqq \varphi \leqq \alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}),\\ {\displaystyle \frac{c}{-\cos \varphi }}& (\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \varphi \leqq \pi )\mathrm{.}\end{array}$$中央の区間では、回転中のどこかで長方形の対角線がその方向を向くため、半径 $d$ まで届く。

したがって断面積 $T$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle =\frac{1}{2}{\int }_0^{\alpha }\frac{a^2}{{\cos }^2\varphi }d\varphi +\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\alpha +\pi \mathrm{/}2}{d}^{2}d\varphi }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +\frac{1}{2}{\int }_{\alpha +\pi \mathrm{/}2}^{\pi }\frac{c^2}{{\cos }^2\varphi }d\varphi }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{ac}{2}+\frac{\pi d^2}{4}+\frac{ac}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =ac+\frac{\pi }{4}(a^2+c^2)\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$V=bT=b\{ac+\frac{\pi }{4}(a^2+c^2)\}\mathrm{.}$$(2)　 $s=a+c$ とおくと $b=1-s$ かつ $0<s<1$ であり、$$T=\frac{\pi }{4}{s}^2-(\frac{\pi }{2}-1)ac<\frac{\pi }{4}{s}^2\mathrm{.}$$したがって$$V<\frac{\pi }{4}(1-s)s^2\leqq \frac{\pi }{27}\mathrm{.}$$最後の等号候補は $s=2\mathrm{/}3$ だが、その前の不等式で $ac>0$ を用いたため上端は達成しない。一方、$a$ または $c$ を0へ近づけつつ $s\to 2\mathrm{/}3$ とすれば上端へ近づく。体積は常に正で、$b\to 0$ なら0へ近づく。連続性も合わせて$$0<V<\frac{\pi }{27}$$である。