東京大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

$y$を固定して考える。$\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\leqq 1$のとき $$\rho =\sqrt{1-y^2}$$ とおくと，円板$D_1$の$y$を固定した断面は，$xz$平面で $$-\rho \leqq x\leqq \rho ,z=a$$ を満たす線分である。$\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }>1$では断面は空である。

線分上の点を$(u,a)$とする。ただし$-\rho \leqq u\leqq \rho$である。この点は$y$軸のまわりの回転により，$xz$平面では原点を中心とする円弧を描き，原点からの距離 $\sqrt{a^2+u^2}$ は変わらない。$u$と$-u$は同じ半径を与えるので，半径を$a$から$\sqrt{a^2+{\rho }^2}$まで動かして考えればよい。

半径が$$r=\sqrt{a^2+u^2}$$である部分について，$x\geqq 0$側に現れる角度幅はちょうど$\pi$である。したがって，固定した$y$における$E\cap \{x\geqq 0\}$の断面積は，半径$a$から$\sqrt{a^2+{\rho }^2}$までの半円環の面積で$${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\{(a^2+{\rho }^2)-a^2\}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}{\rho }^2={\displaystyle \frac{\pi }{2}}(1-y^2)$$である。

これを$-1\leqq y\leqq 1$で積分して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle W(a)}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1{\displaystyle \frac{\pi }{2}}(1-y^2)dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}{[y-{\displaystyle \frac{y^3}{3}}]}_{-1}^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}}\end{array}$$である。

(2)

同じく$y$を固定する。$0\leqq u\leqq \rho$とし，点$(u,a)$が正の$z$軸となす角を$\beta =\beta (u)$とおく。このとき $0\leqq \beta (u)<\pi \mathrm{/}2$ かつ $\tan \beta (u)=u\mathrm{/}a$ である。半径$\sqrt{a^2+u^2}$の円周上で，$u$と$-u$から出る半回転の弧を合わせると，角度幅は $\pi +2\beta (u)$ になる。したがって，固定した$y$における$E$全体の断面積を$A_y(a)$とすると，半径方向の幅を用いて $$A_y(a)={\int }_0^{\rho }(\pi +2\beta (u))udu$$ と表せる。ここで$udu$は，半径$$r=\sqrt{a^2+u^2}$$に対して$rdr=udu$となることから出ている。

(1) の断面積は $${\int }_0^{\rho }\pi udu={\displaystyle \frac{\pi }{2}}{\rho }^2$$ であった。したがって余分な面積は $$A_y(a)-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}{\rho }^2=2{\int }_0^{\rho }u\beta (u)du$$ である。$0\leqq \beta (u)<\pi \mathrm{/}2$ では $$\beta (u)\leqq \tan \beta (u)=u\mathrm{/}a$$ だから$$0\leqq A_y(a)-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}{\rho }^2\leqq 2{\int }_0^{\rho }u\cdot {\displaystyle \frac{u}{a}}du={\displaystyle \frac{2}{3a}}{\rho }^3$$である。$$\rho =\sqrt{1-y^2}\leqq 1$$なので $$0\leqq A_y(a)-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}(1-y^2)\leqq {\displaystyle \frac{2}{3a}}$$ である。

これを$-1\leqq y\leqq 1$で積分すると $$0\leqq V(a)-{\int }_{-1}^1{\displaystyle \frac{\pi }{2}}(1-y^2)dy\leqq {\displaystyle \frac{4}{3a}}$$ となる。右端は$a\to \mathrm{\infty }$で0に近づく。よって$$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }V(a)={\int }_{-1}^1{\displaystyle \frac{\pi }{2}}(1-y^2)dy={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$$である。

\brackethead{$y$ を固定した $xz$ 断面}$$\rho =\sqrt{1-y^2}$$。半径は $a$ から
$\sqrt{a^2+{\rho }^2}$ まで動く。

$y$ を固定し、$\rho =\sqrt{1-y^2}$ とする。半径 $\sqrt{a^2+u^2}$ の円周上で掃かれる角度$\pi +2\beta (u)$ を用いて断面積を厳密に積分する。ただし $\beta (u)$ は $0\leqq \beta (u)<\pi \mathrm{/}2$，$\tan \beta (u)=u\mathrm{/}a$ で定める。余分な断面積の式を得た後、一様な上界で極限を処理する。

(1)
$-1\leqq y\leqq 1$ を固定し、$$\rho =\sqrt{1-y^2}$$とおく。$D_1$ の断面上の点 $(u,a)$ と $(-u,a)$
$(0\leqq u\leqq \rho )$ は、同じ半径$$r=\sqrt{a^2+u^2}$$の円周上を半回転する。$x\geqq 0$ 側では、2本の円弧の和集合が
ちょうど角度 $\pi$ を覆う。したがって断面積は$${\int }_a^{\sqrt{a^2+{\rho }^2}}\pi rdr={\displaystyle \frac{\pi }{2}}{\rho }^2\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle W(a)}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1{\displaystyle \frac{\pi }{2}}(1-y^2)dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)　
$(u,a)$ が正の $z$ 軸となす角を $\beta =\beta (u)$ とする。このとき$$0\leqq \beta (u)<\frac{\pi }{2},\tan \beta (u)=\frac{u}{a}\mathrm{.}$$点 $(u,a)$ と $(-u,a)$ から始まる半回転の円弧を
合わせると、半径 $$r=\sqrt{a^2+u^2}$$ 上で覆う角度は$$\pi +2\beta (u)$$である。$rdr=udu$ だから、固定した $y$ での断面積 $A_y(a)$ は$$A_y(a)={\int }_0^{\rho }(\pi +2\beta (u))udu\mathrm{.}$$$\tan \beta (u)=u\mathrm{/}a$ を微分すると$${\beta }^{\mathrm{\prime }}(u)=\frac{a}{a^2+u^2}$$である。したがって部分積分により$$\int u\beta (u)du={\displaystyle \frac{a^2+u^2}{2}}\beta (u)-{\displaystyle \frac{au}{2}}$$となるから$$A_y(a)={\displaystyle \frac{\pi }{2}}{\rho }^2+(a^2+{\rho }^2)\beta (\rho )-a\rho \mathrm{.}$$極限を厳密に処理するため、積分表示へ戻る。
$0\leqq \beta (u)<\pi \mathrm{/}2$ では $$\beta (u)\leqq \tan \beta (u)=u\mathrm{/}a$$ より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 0}& {\displaystyle \leqq A_y(a)-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}{\rho }^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\int }_0^{\rho }u\beta (u)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \leqq {\displaystyle \frac{2}{a}}{\int }_0^{\rho }{u}^{2}du={\displaystyle \frac{2{\rho }^3}{3a}}\leqq {\displaystyle \frac{2}{3a}}\mathrm{.}}\end{array}$$これを $-1\leqq y\leqq 1$ で積分すると$$0\leqq V(a)-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\leqq {\displaystyle \frac{4}{3a}}\mathrm{.}$$はさみうちの原理により$$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }V(a)={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\mathrm{.}$$