東京大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) 自然数 $k$ を固定する。$0<x<1$ では $k<k+x<k+1$ である。また $1-x>0$ だから，分母が大きいほど分数は小さくなり，$$\frac{1-x}{k+1}<\frac{1-x}{k+x}<\frac{1-x}{k}$$ である。

これを $0$ から $1$ まで積分すると$$\frac{1}{k+1}{\int }_0^1(1-x)dx<{\int }_0^1\frac{1-x}{k+x}dx<\frac{1}{k}{\int }_0^1(1-x)dx$$である。ここで $${\int }_0^1(1-x)dx={[x-\frac{x^2}{2}]}_0^1=\frac{1}{2}$$ なので $$\frac{1}{2(k+1)}<{\int }_0^1\frac{1-x}{k+x}dx<\frac{1}{2k}$$ である。

(2) まず1項ごとの形を作る。自然数 $k$ について $$\log \frac{k+1}{k}={\int }_k^{k+1}\frac{du}{u}$$ であり，$u=k+x$ とおくと $$\log \frac{k+1}{k}={\int }_0^1\frac{1}{k+x}dx$$ である。したがって$$\log \frac{k+1}{k}-\frac{1}{k+1}={\int }_0^1(\frac{1}{k+x}-\frac{1}{k+1})dx\mathrm{.}$$括弧内を通分すると $$\frac{1}{k+x}-\frac{1}{k+1}=\frac{1-x}{(k+x)(k+1)}$$ だから $$\log \frac{k+1}{k}-\frac{1}{k+1}=\frac{1}{k+1}{\int }_0^1\frac{1-x}{k+x}dx\mathrm{.}$$ (1) を用いると $$\frac{1}{2(k+1{)}^2}<\log \frac{k+1}{k}-\frac{1}{k+1}<\frac{1}{2k(k+1)}$$ である。さらに $$\frac{1}{2(k+1{)}^2}>\frac{1}{2(k+1)(k+2)}$$ なので，やや弱めて$$\frac{1}{2(k+1)(k+2)}<\log \frac{k+1}{k}-\frac{1}{k+1}<\frac{1}{2k(k+1)}$$を得る。

これを $k=n,n+1,\dots ,m-1$ について足す。中央は$$\sum _{k=n}^{m-1}\log \frac{k+1}{k}-\sum _{k=n}^{m-1}\frac{1}{k+1}=\log \frac{m}{n}-\sum _{k=n+1}^m\frac{1}{k}$$である。

したがって$$\sum _{k=n}^{m-1}\frac{1}{2(k+1)(k+2)}<\log \frac{m}{n}-\sum _{k=n+1}^m\frac{1}{k}<\sum _{k=n}^{m-1}\frac{1}{2k(k+1)}$$である。両端の和を部分分数で計算すると$$\sum _{k=n}^{m-1}\frac{1}{2(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\sum _{k=n}^{m-1}(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2})=\frac{1}{2}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{m+1})$$であり，$$\sum _{k=n}^{m-1}\frac{1}{2k(k+1)}=\frac{1}{2}\sum _{k=n}^{m-1}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{m})$$である。

よって$$\frac{m-n}{2(m+1)(n+1)}<\log \frac{m}{n}-\sum _{k=n+1}^m\frac{1}{k}<\frac{m-n}{2mn}$$である。