東京大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

$t=0,\pi ,2\pi$ ではいずれも $(x,y)=(1,0)$ である。また $0<t<\pi$ では $\sin t>0$ より $y=t\sin t>0$，$\pi <t<2\pi$ では $\sin t<0$ より $y=t\sin t<0$ である。したがって $0\leqq t\leqq \pi$ の部分が上側の閉曲線，$\pi \leqq t\leqq 2\pi$ の部分が下側の閉曲線を作る。

まず上側の面積を求める。$0\leqq t\leqq \pi \mathrm{/}2$ に対して，$t$ と $\pi -t$ は同じ $x$ 座標を与える。実際，$\cos 2(\pi -t)=\cos 2t$ である。この2点の $y$ 座標は $t\sin t,(\pi -t)\sin t$ であるから，縦の長さは $$(\pi -t)\sin t-t\sin t=(\pi -2t)\sin t$$ である。

また，$0\leqq t\leqq \pi \mathrm{/}2$ では $x=\cos 2t$ は $1$ から $-1$ へ減少する。したがって横方向の微小幅は $$-dx=-{\displaystyle \frac{dx}{dt}}dt=2\sin 2tdt=4\sin t\cos tdt$$ である。よって上側の面積を $A$ とすると、$$A=4{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}(\pi -2t){\sin }^{2}t\cos tdt$$である。

ここで $$d({\sin }^{3}t)=3{\sin }^{2}t\cos tdt$$ より，部分積分を用いて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{3}}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}(\pi -2t)d({\sin }^{3}t)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{3}}{[(\pi -2t){\sin }^{3}t]}_0^{\pi \mathrm{/}2}+{\displaystyle \frac{8}{3}}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{3}tdt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{8}{3}}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\sin t(1-{\cos }^{2}t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{8}{3}}{[-\cos t+{\displaystyle \frac{{\cos }^{3}t}{3}}]}_0^{\pi \mathrm{/}2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{8}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{16}{9}}\mathrm{.}}\end{array}$$次に下側について確認する。$0\leqq t\leqq \pi \mathrm{/}2$ に対して $\pi +t$ と $2\pi -t$ は同じ $x$ 座標を与え，それぞれの $y$ 座標は $-(\pi +t)\sin t,-(2\pi -t)\sin t$ である。したがって縦の長さは $$-(\pi +t)\sin t+(2\pi -t)\sin t=(\pi -2t)\sin t$$ となり，上側と同じである。横幅も同じなので，下側の面積も $16\mathrm{/}9$ である。

よって曲線が囲む領域の面積の合計は $$2A=2\cdot {\displaystyle \frac{16}{9}}={\displaystyle \frac{32}{9}}$$ である。

曲線は $(1,0)$ を共有する上下2つの閉曲線を描く。色は媒介変数の区間を示す。

各閉曲線の符号付き面積を、媒介変数による線積分で求める。上側は $0\leqq t\leqq \pi$、下側は $\pi \leqq t\leqq 2\pi$ で閉じる。部分積分で端点項が消えることを確認し、両者の絶対値を加える。

上側の閉曲線では $0\leqq t\leqq \pi$ であり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int ydx}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi }t\sin t(-2\sin 2t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-4{\int }_0^{\pi }t{\sin }^{2}t\cos tdt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{4}{3}}{\int }_0^{\pi }td({\sin }^{3}t)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{3}}{\int }_0^{\pi }{\sin }^{3}tdt={\displaystyle \frac{16}{9}}\mathrm{.}}\end{array}$$端点では $\sin t=0$ なので、部分積分の境界項は $0$ である。

下側では $\pi \leqq t\leqq 2\pi$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int ydx}& {\displaystyle =-4{\int }_{\pi }^{2\pi }t{\sin }^{2}t\cos tdt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{3}}{\int }_{\pi }^{2\pi }{\sin }^{3}tdt=-{\displaystyle \frac{16}{9}}\mathrm{.}}\end{array}$$符号が反対になるのは曲線を回る向きが反対だからであり、面積は絶対値を取る。よって囲まれる2領域の面積の合計は$$\mid {\displaystyle \frac{16}{9}}\mid +\mid -{\displaystyle \frac{16}{9}}\mid ={\displaystyle \frac{32}{9}}$$である。