東京大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) 出発点を整理する。点 $A$ は $(-3,0)$ なので，半直線 $OA$ の方向角は ${180}^{\circ }$ である。条件 $$\mathrm{\angle }AOB={180}^{\circ }-\theta$$ かつ $B$ は $y>0$ にあることから，点 $B$ の方向角は $\theta$ である。したがって $$B=(2\cos \theta ,2\sin \theta )$$ である。

また，$C$ は $y<0$ にあり，$\mathrm{\angle }BOC={120}^{\circ }$ である。さらに $\mathrm{△}ABC$ が $O$ を含む配置であるから，$C$ は $B$ から時計回りに ${120}^{\circ }$ だけ回した方向にある。よって $C$ の方向角は $\theta -{120}^{\circ }$ であり，$$C=(\cos (\theta -{120}^{\circ }),\sin (\theta -{120}^{\circ }))$$ である。

$OA=3$ であり，$B$ の $y$ 座標は $2\sin \theta$ なので $$[\mathrm{△}OAB]=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2\sin \theta =3\sin \theta$$ である。一方，$C$ は $x$ 軸の下側にあるから，$OA$ を底辺とした高さは $$-\sin (\theta -{120}^{\circ })=\sin ({120}^{\circ }-\theta )$$ である。したがって$$[\mathrm{△}OAC]=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \sin ({120}^{\circ }-\theta )=\frac{3}{2}\sin ({120}^{\circ }-\theta )$$である。

面積が等しい条件は $$3\sin \theta =\frac{3}{2}\sin ({120}^{\circ }-\theta )$$ すなわち $$2\sin \theta =\sin ({120}^{\circ }-\theta )$$ である。ここで$$\sin ({120}^{\circ }-\theta )=\sin {120}^{\circ }\cos \theta -\cos {120}^{\circ }\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta +\frac{1}{2}\sin \theta$$だから $$2\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta +\frac{1}{2}\sin \theta$$ より $$3\sin \theta =\sqrt{3}\cos \theta$$ である。$$0^{\circ }<\theta <{120}^{\circ }$$ でこの式が成り立つとき，$\cos \theta$ は正でなければならないので $0^{\circ }<\theta <{90}^{\circ }$ であり，$$\tan \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$$ となる。よって $\theta ={30}^{\circ }$ である。

(2) 面積の和を $S$ とする。(1) と同様に $$S=3\sin \theta +\frac{3}{2}\sin ({120}^{\circ }-\theta )$$ である。これを $\sin \theta ,\cos \theta$ で表すと$$S=3\sin \theta +\frac{3}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta +\frac{1}{2}\sin \theta )=\frac{15}{4}\sin \theta +\frac{3\sqrt{3}}{4}\cos \theta \mathrm{.}$$ここで$$\frac{15}{4}\sin \theta +\frac{3\sqrt{3}}{4}\cos \theta \leqq \sqrt{{\left(\frac{15}{4}\right)}^2+{\left(\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)}^2}$$である。右辺は$$\sqrt{\frac{225}{16}+\frac{27}{16}}=\sqrt{\frac{252}{16}}=\frac{3\sqrt{7}}{2}$$である。

等号は $$\sin \theta :\cos \theta =15:3\sqrt{3}=5:\sqrt{3}$$ のときに成り立つ。この比を満たす角は $0^{\circ }<\theta <{90}^{\circ }$ にあり，問題の範囲内である。このとき$$\sin \theta =\frac{5}{\sqrt{5^2+(\sqrt{3}{)}^2}}=\frac{5}{2\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{7}}{14}$$である。

したがって最大値は $\frac{3\sqrt{7}}{2}$ であり，そのとき $$\sin \theta =\frac{5\sqrt{7}}{14}$$ である。

配置と面積の高さ

$OA$ を底辺にすると、2つの面積は $B,C$ の高さで決まる。