東京大学 2020年度理系数学第6問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。

(1) $A$ ， $α$ を実数とする。 $θ$ の方程式

A sin 2 θ - sin (θ + α) = 0

を考える。 $A > 1$ のとき，この方程式は $0 ≦ θ < 2 π$ の範囲に少なくとも4個の解を持つことを示せ。

(2) 座標平面上の楕円

C : \frac{x ^{2}}{2} + y^{2} = 1

を考える。また， $0 < r < 1$ を満たす実数 $r$ に対して，不等式

2 x^{2} + y^{2} < r^{2}

が表す領域をDとする。D内のすべての点Pが以下の条件を満たすような実数 $r (0 < r < 1)$ が存在することを示せ。また，そのような $r$ の最大値を求めよ。
条件：C上の点Qで，QにおけるCの接線と直線PQが直交するようなものが少なくとも4個ある。

出典：東京大学 2020年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

解法1（法線条件を行列式で三角方程式にする方法）

(1)は $sin 2 θ = \pm 1$ となる4点で符号を固定し、中間値の定理を使う。(2)は楕円上の点を三角表示し、法線方向との平行条件を行列式で表す。領域 $D$ の点では (1) の係数条件を満たすことを示し、 $r > 1/2$ には法線が2本しか通らない反例点を作る。

解法2（楕円座標で点を表し端点反例を作る方法）

(1)は中央の3区間で3解を得た後、 $F (0)$ の符号に応じて左右端の区間から第4解を得る。(2)は $P = (s cos α / 2, s sin α)$ とおき、法線方程式を直接 (1) の形へ変形する。最大性は $s = 1/2$ の点を使い、方程式の解がちょうど3個になる例で示す。

解答

解法1（法線条件を行列式で三角方程式にする方法）

(1)

F (θ) = A sin 2 θ - sin (θ + α)

とおく。 $A > 1$ より

F (\frac{π}{4}) > 0, F (\frac{3 π}{4}) < 0, F (\frac{5 π}{4}) > 0, F (\frac{7 π}{4}) < 0.

さらに周期性から

F (\frac{9 π}{4}) = F (\frac{π}{4}) > 0.

よって中間値の定理により

(\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}), (\frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}), (\frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}), (\frac{7 π}{4}, \frac{9 π}{4})

の各区間に少なくとも1個の解がある。最後の解が $2 π$ 以上なら $2 π$ を引けば

0 ≦ θ < \frac{π}{4}

の解になる。したがって $0 ≦ θ < 2 π$ に少なくとも4個の解がある。

(2)

楕円上の点を

Q = (2 cos θ, sin θ)

とする。 $Q$ における法線方向は

(2 cos θ, 2 sin θ)

である。 $P = (u, v)$ とすると、直線 $P Q$ が接線と直交する条件は

(u - 2 cos θ) 2 sin θ - (v - sin θ) 2 cos θ = 0.

整理すると

sin 2 θ - 22 u sin θ + 2 v cos θ = 0.

$P = O$ なら $sin 2 θ = 0$ となり、解は4個ある。以下 $P \neq = O$ とし、

R = 2 2 u^{2} + v^{2}

とおく。ある実数 $α$ を用いて法線条件は

sin 2 θ - R sin (θ + α) = 0

と書ける。

$2 u^{2} + v^{2} < 1/4$ なら $0 < R < 1$ であり、

\frac{1}{R} sin 2 θ - sin (θ + α) = 0.

ここで $1/ R > 1$ だから (1) より少なくとも4個の解をもつ。したがって

0 < r ≦ \frac{1}{2}

なら $D$ 内のすべての点 $P$ が条件を満たす。とくに $r = 1/2$ が実際に条件を満たすので、求める $r$ は存在する。

次に $r > 1/2$ とする。 $1/2 < ρ < r$ をとり、

P = (\frac{ρ}{2}, \frac{ρ}{2})

とおく。この点は

2 (\frac{ρ}{2})^{2} + (\frac{ρ}{2})^{2} = ρ^{2} < r^{2}

より $D$ 内にある。法線条件は

sin 2 θ - 2 ρ sin (θ - \frac{π}{4}) = 0.

$ϕ = θ - π /4$ とおくと

2 sin^{2} ϕ + 2 ρ sin ϕ - 1 = 0,

したがって

sin ϕ = \frac{- ρ \pm ρ ^{2} + 2}{2} .

$ρ > 1/2$ では負号の値は $- 1$ より小さく、正号の値だけが $(- 1, 1)$ に入る。よって $0 ≦ θ < 2 π$ の解は2個しかない。したがって $r > 1/2$ は不適である。

以上より最大値は

r = \frac{1}{2} .

解法2（楕円座標で点を表し端点反例を作る方法）

(1)

$F (θ) = A sin 2 θ - sin (θ + α)$ とする。 $A > 1$ なので

F (\frac{π}{4}) > 0, F (\frac{3 π}{4}) < 0, F (\frac{5 π}{4}) > 0, F (\frac{7 π}{4}) < 0.

したがって中央の3区間

(\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}), (\frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}), (\frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4})

にそれぞれ解がある。

さらに

F (0) = F (2 π) = - sin α .

$sin α ≧ 0$ なら $F (0) ≦ 0 < F (π /4)$ なので

0 ≦ θ < \frac{π}{4}

に解がある。 $sin α < 0$ なら

F (\frac{7 π}{4}) < 0 < F (2 π)

なので $7 π /4 < θ < 2 π$ に解がある。これで少なくとも4個の解が得られる。

(2)

$D$ 内の原点でない点を

P = (\frac{s}{2} cos α, s sin α), 0 < s < r

と表す。楕円上の点を

Q = (2 cos θ, sin θ)

とすると、 $Q$ における接線は

\frac{cos θ}{2} x + sin θ y = 1.

法線が $P$ を通る条件を整理すると

\frac{1}{2 s} sin 2 θ - sin (θ - α) = 0.

$s < 1/2$ なら $1/ (2 s) > 1$ だから (1) を適用でき、少なくとも4個の $Q$ が得られる。原点では4本の座標軸方向の法線が通る。よって $r = 1/2$ は条件を満たす。

最大性を示す。 $r > 1/2$ なら

s = \frac{1}{2}, α = \frac{7 π}{4}

で表される点 $P$ は $D$ 内にある。このとき法線条件は

sin 2 θ - sin (θ - \frac{7 π}{4}) = 0,

すなわち

sin 2 θ = sin (θ + \frac{π}{4}) .

$0 ≦ θ < 2 π$ で解くと

θ = \frac{π}{4}, \frac{11 π}{12}, \frac{19 π}{12}

の3個だけである。したがってこの $P$ は条件を満たさず、 $r > 1/2$ は不可能である。よって最大値は

\frac{1}{2}

である。

東京大学 2020年度理系数学 第6問

問題

方針

解法1（法線条件を行列式で三角方程式にする方法）

解法2（楕円座標で点を表し端点反例を作る方法）

解答

解法1（法線条件を行列式で三角方程式にする方法）

(1)

(2)

解法2（楕円座標で点を表し端点反例を作る方法）

(1)

(2)

東京大学 2020年度
理系数学第6問