東京大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

点$C(0,0,1)$を基準にして考える。$z\geqq 1$側の点を取り，その点の$C$からの高さを $h=z-1(h\geqq 0)$ とする。また，その点の$C$からの水平方向の距離を$\rho$とする。すると，その点と$C$との距離$s$は $$s=\sqrt{{\rho }^2+h^2}$$ である。

まず$h>0$として考える。この点が線分$AB$上にあるとする。線分は$C$を通り，反対側へ延長すると点$A$を含む平面$z=0$に達する。$C$から上側の点までの距離が$s$，その鉛直方向の増加が$h$であるから，この直線上で鉛直方向に1だけ下がって平面$z=0$に達するまでの距離は，相似により $\frac{s}{h}$ である。

線分$AB$の長さは2であり，$C$はその線分上にある。したがって，上側に距離$s$だけ進み，反対側に平面$z=0$まで距離$s\mathrm{/}h$だけ進むことができるための条件は $s+\frac{s}{h}\leqq 2$ である。すなわち $$s\leqq \frac{2h}{h+1}$$ である。

これを$\rho ,h$で書くと $${\rho }^2+h^2\leqq \frac{4h^2}{(h+1{)}^2}$$ であり，$${\rho }^2\leqq \frac{4h^2}{(h+1{)}^2}-h^2=\frac{h^2(1-h)(h+3)}{(h+1{)}^2}$$ である。

右辺が0以上でなければ断面は存在しない。$h\geqq 0$では$h^2\geqq 0$，$h+3>0$，$(h+1{)}^2>0$なので，必要十分条件は $0\leqq h\leqq 1$ である。$h=0$では断面は点$C$だけで，体積には影響しない。

したがって，高さ$h$における断面は半径の2乗が $\frac{h^2(1-h)(h+3)}{(h+1{)}^2}$ である円であり，その面積は $\pi \frac{h^2(1-h)(h+3)}{(h+1{)}^2}$ である。よって求める体積$V$は $$V=\pi {\int }_0^1\frac{h^2(1-h)(h+3)}{(h+1{)}^2}dh$$ である。

被積分関数を整理すると $$\frac{h^2(1-h)(h+3)}{(h+1{)}^2}=-h^2+4-\frac{8}{h+1}+\frac{4}{(h+1{)}^2}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^1\frac{h^2(1-h)(h+3)}{(h+1{)}^2}dh}& {\displaystyle ={[-\frac{h^3}{3}+4h-8\log (h+1)-\frac{4}{h+1}]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(-\frac{1}{3}+4-8\log 2-2)-(-4)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{17}{3}-8\log 2}\end{array}$$である。よって求める体積は $\pi (\frac{17}{3}-8\log 2)$ である。

別解。
通過条件は，線分の向きを単位ベクトルで置いても導ける。鉛直成分が$h\mathrm{/}s$である方向に，平面$z=0$まで戻る距離が$s\mathrm{/}h$となるので，結局$s+s\mathrm{/}h\leqq 2$に帰着する。断面を円として積分する点は同じである。

$q=AC$を線分上の位置を表す変数にする。AとCの高さの差が1なので，線分方向の鉛直成分は$1\mathrm{/}q$である。高さ$1+h$の点までの距離と水平方向距離を$q,h$で表し，$AC+CP\leqq 2$から許される$q$の最大値を求める。回転対称性で円断面を得て積分する。

$q=AC$とおく。AからCまでに高さが1増えるので，線分方向の単位ベクトルの鉛直成分は$1\mathrm{/}q$であり，$q\geqq 1$である。

高さ$z=1+h$にある線分上の点をPとする。CからPまでの鉛直増加が$h$だから$$CP=qh\mathrm{.}$$Pが長さ2の線分内にある条件は$$AC+CP=q(1+h)\leqq 2.$$したがって$$1\leqq q\leqq \frac{2}{1+h}\mathrm{.}$$この範囲が空でないための条件は$0\leqq h\leqq 1$である。

線分方向の水平成分の大きさは$\sqrt{1-1\mathrm{/}{q}^2}$なので，CからPまでの水平距離は$$\rho =qh\sqrt{1-\frac{1}{q^2}}=h\sqrt{q^2-1}\mathrm{.}$$これは$q$とともに増加する。線分は鉛直軸の周りに任意の方向を向けるから，高さ$1+h$の断面は円であり，半径の2乗は$${\rho }_{\max }^{}=h^2\{\frac{4}{(1+h{)}^2}-1\}=\frac{h^2(1-h)(h+3)}{(h+1{)}^2}\mathrm{.}$$よって体積は$$V=\pi {\int }_0^1\frac{h^2(1-h)(h+3)}{(h+1{)}^2}dh\mathrm{.}$$被積分関数を$$-h^2+4-\frac{8}{h+1}+\frac{4}{(h+1{)}^2}$$と分解すれば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {[-\frac{h^3}{3}+4h-8\log (h+1)-\frac{4}{h+1}]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi (\frac{17}{3}-8\log 2)\mathrm{.}}\end{array}$$