東京大学 2018年度理系数学第6問解答・解説

問題

座標空間内の4点

O (0, 0, 0), A (1, 0, 0), B (1, 1, 0), C (1, 1, 1)

を考える。

\frac{1}{2} < r < 1

とする。点 $P$ が線分 $O A, A B, B C$ 上を動くとき、点 $P$ を中心とする半径 $r$ の球（内部を含む）が通過する部分を、それぞれ $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ とする。

(1)平面 $y = t$ が $V_{1}, V_{3}$ の双方と共有点をもつような $t$ の範囲を求めよ。さらに、この範囲の $t$ に対し、平面 $y = t$ と $V_{1}$ の共通部分、および平面 $y = t$ と $V_{3}$ の共通部分を同一平面上に図示せよ。

(2) $V_{1}$ と $V_{3}$ の共通部分が $V_{2}$ に含まれるための、 $r$ についての条件を求めよ。

(3) $r$ は (2) の条件を満たすとする。 $V_{1}$ の体積を $S$ 、 $V_{1}$ と $V_{2}$ の共通部分の体積を $T$ とする。 $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ を合わせて得られる立体 $V$ の体積を $S, T$ を用いて表せ。

(4)引き続き $r$ は (2) の条件を満たすとする。 $S, T$ を求め、 $V$ の体積を決定せよ。

出典：東京大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

解法1

$V_{1}, V_{2}, V_{3}$ を、それぞれ線分 $O A, A B, B C$ から距離 $r$ 以下の点全体とみなす。(1)は平面 $y = t$ で切り、半径 $ρ_{1} = r^{2} - t^{2}$ 、 $ρ_{3} = r^{2} - (1 - t)^{2}$ の2つのカプセル形断面を描く。(2)は断面内で $V_{1} \cap V_{3}$ の点から $(1, 0)$ までの最大距離を求める。(3)は包含関係により包除原理を簡単にする。(4)は1本の管の体積 $S$ と、直交する2本の管の共通体積 $T$ を角点まわりの象限に分けて計算する。

解法2

各立体を線分への距離不等式で表し、(1)(2)を座標的に処理する。(4)の共通体積 $T$ は、2重積分ではなく $z$ を固定した断面積で求める。高さ $z$ で $h = r^{2} - z^{2}$ とおくと、断面は第1象限の正方形と残り3象限の円板部分に分かれ、1変数積分だけで計算できる。

解答

解法1

(1)

$V_{1}$ は線分 $O A$ から距離 $r$ 以下の点全体である。したがって平面 $y = t$ が $V_{1}$ と共有点をもつ条件は

∣ t ∣ ≦ r .

同様に、線分 $B C$ は平面 $y = 1$ 上にあるから、平面 $y = t$ が $V_{3}$ と共有点をもつ条件は

∣ t - 1∣ ≦ r .

$\frac{1}{2} < r < 1$ より、双方と共有点をもつ範囲は

1 - r ≦ t ≦ r .

この範囲の $t$ を固定し、平面 $y = t$ 上を $(x, z)$ 平面とみなす。

ρ_{1} = r^{2} - t^{2}, ρ_{3} = r^{2} - (1 - t)^{2}

とおく。 $V_{1}$ の断面は線分

0 ≦ x ≦ 1, z = 0

から距離 $ρ_{1}$ 以下のカプセル形である。 $V_{3}$ の断面は線分

x = 1, 0 ≦ z ≦ 1

から距離 $ρ_{3}$ 以下のカプセル形である。

(2)

$1 - r ≦ t ≦ r$ では $0 < t < 1$ である。したがって平面 $y = t$ と $V_{2}$ の共通部分は、 $(x, z)$ 平面上の中心 $(1, 0)$ 、半径 $r$ の円板である。

X = 1 - x

とおく。 $V_{1} \cap V_{3}$ がこの円板からはみ出す可能性があるのは $X ≧ 0, z ≧ 0$ の角の内側である。そこでは

z^{2} ≦ r^{2} - t^{2}, X^{2} ≦ r^{2} - (1 - t)^{2} .

したがって中心 $(1, 0)$ からの距離の2乗 $X^{2} + z^{2}$ の最大値は

2 r^{2} - t^{2} - (1 - t)^{2} .

これが $r^{2}$ 以下となる条件は

r^{2} ≦ t^{2} + (1 - t)^{2} .

この不等式が $1 - r ≦ t ≦ r$ のすべてで成り立つ必要がある。右辺は $t = 1/2$ で最小値 $1/2$ をとり、 $1/2$ はこの区間に含まれる。よって必要十分条件は

r^{2} ≦ \frac{1}{2} .

もとの範囲と合わせて

\frac{1}{2} < r ≦ \frac{1}{2}

である。

(3)

3つの立体は合同なので、それぞれの体積は $S$ である。また

Vol (V_{1} \cap V_{2}) = Vol (V_{2} \cap V_{3}) = T .

包除原理より

Vol (V) = 3 S - Vol (V_{1} \cap V_{2}) - Vol (V_{2} \cap V_{3}) - Vol (V_{1} \cap V_{3}) + Vol (V_{1} \cap V_{2} \cap V_{3}) .

(2) の条件のもとでは $V_{1} \cap V_{3} \subset V_{2}$ だから、最後の2項は打ち消し合う。したがって

Vol (V) = 3 S - 2 T .

(4)

$V_{1}$ は長さ1、半径 $r$ の円柱と、両端の半球2個からなる。よって

S = π r^{2} + \frac{4}{3} π r^{3} .

次に $T$ を求める。点 $A$ を原点とし、 $A O$ 方向を $u$ 軸、 $A B$ 方向を $v$ 軸、それらに垂直な方向を $z$ 軸とする。 $u, v ≧ 0$ の部分では

v^{2} + z^{2} ≦ r^{2}, u^{2} + z^{2} ≦ r^{2} .

この部分の体積は、正方形 $0 ≦ u, v ≦ r$ を対角線で二分して

2 \int_{0}^{r} \int_{0}^{u} 2 r^{2} - u^{2} d v d u = 4 \int_{0}^{r} u r^{2} - u^{2} d u = \frac{4}{3} r^{3} .

残る3象限では、共通部分は点 $A$ を中心とする半径 $r$ の球の4分の3に当たる。その体積は

\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} π r^{3} = π r^{3} .

したがって

T = (π + \frac{4}{3}) r^{3} .

(3) に代入すると

Vol (V) = 3 (π r^{2} + \frac{4}{3} π r^{3}) - 2 (π + \frac{4}{3}) r^{3} = 3 π r^{2} + (2 π - \frac{8}{3}) r^{3} .

解法2

(1)

平面 $y = t$ から線分 $O A$ までの最短距離は $∣ t ∣$ 、線分 $B C$ までの最短距離は $∣1 - t ∣$ である。したがって

∣ t ∣ ≦ r, ∣1 - t ∣ ≦ r .

両方を満たす範囲は

1 - r ≦ t ≦ r .

断面は、それぞれ長さ1の水平線分、垂直線分を半径

r^{2} - t^{2}, r^{2} - (1 - t)^{2}

だけ太らせた図形である。

(2)

$0 < t < 1$ では、点 $(x, t, z)$ から線分 $A B$ までの距離は

(x - 1)^{2} + z^{2} .

$V_{1} \cap V_{3}$ においてその2乗が最も大きくなる角では

(x - 1)^{2} + z^{2} = {r^{2} - (1 - t)^{2}} + {r^{2} - t^{2}} .

これが $r^{2}$ 以下である条件は

r^{2} ≦ t^{2} + (1 - t)^{2} .

右辺の区間 $[1 - r, r]$ における最小値は $t = 1/2$ での $1/2$ なので

\frac{1}{2} < r ≦ \frac{1}{2} .

(3)

$V_{1} \cap V_{3} \subset V_{2}$ により

V_{1} \cap V_{3} = V_{1} \cap V_{2} \cap V_{3} .

包除原理でこの2項が相殺されるから

Vol (V) = 3 S - 2 T .

(4)

1本の線分の半径 $r$ 近傍は、円柱と球1個分の端部をもつので

S = π r^{2} + \frac{4}{3} π r^{3} .

$T$ を別の断面で求める。点 $A$ を原点とする $(u, v, z)$ 座標を解法1と同様にとり、 $z$ を固定する。

h = r^{2} - z^{2}

とおく。この断面で $u, v ≧ 0$ の部分は一辺 $h$ の正方形となる。残り3象限の部分は半径 $h$ の円板の4分の3となる。したがって断面積は

h^{2} + \frac{3 π}{4} h^{2} = (1 + \frac{3 π}{4}) (r^{2} - z^{2}) .

よって

T = \int_{- r}^{r} (1 + \frac{3 π}{4}) (r^{2} - z^{2}) d z = (π + \frac{4}{3}) r^{3} .

以上から

Vol (V) = 3 π r^{2} + (2 π - \frac{8}{3}) r^{3} .

東京大学 2018年度理系数学 第6問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2

(1)

(2)

(3)

(4)

東京大学 2018年度
理系数学第6問