東京大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)

$V_1$ は線分 $OA$ から距離 $r$ 以下の点全体である。したがって平面 $y=t$ が $V_1$ と共有点をもつ条件は$$\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\leqq r\mathrm{.}$$同様に、線分 $BC$ は平面 $y=1$ 上にあるから、平面 $y=t$ が $V_3$ と共有点をもつ条件は$$\mathrm{\mid }t-1\mathrm{\mid }\leqq r\mathrm{.}$$$\frac{1}{2}<r<1$ より、双方と共有点をもつ範囲は$$1-r\leqq t\leqq r\mathrm{.}$$この範囲の $t$ を固定し、平面 $y=t$ 上を $(x,z)$ 平面とみなす。$${\rho }_1=\sqrt{r^2-t^2},{\rho }_3=\sqrt{r^2-(1-t{)}^2}$$とおく。$V_1$ の断面は線分$$0\leqq x\leqq 1,z=0$$から距離 ${\rho }_1$ 以下のカプセル形である。$V_3$ の断面は線分$$x=1,0\leqq z\leqq 1$$から距離 ${\rho }_3$ 以下のカプセル形である。

(2)

$1-r\leqq t\leqq r$ では $0<t<1$ である。したがって平面 $y=t$ と $V_2$ の共通部分は、$(x,z)$ 平面上の中心 $(1,0)$、半径 $r$ の円板である。$$X=1-x$$とおく。$V_1\cap V_3$ がこの円板からはみ出す可能性があるのは $X\geqq 0,z\geqq 0$ の角の内側である。そこでは$$z^2\leqq r^2-t^2,X^2\leqq r^2-(1-t{)}^2\mathrm{.}$$したがって中心 $(1,0)$ からの距離の2乗 $X^2+z^2$ の最大値は$$2r^2-t^2-(1-t{)}^2\mathrm{.}$$これが $r^2$ 以下となる条件は$$r^2\leqq t^2+(1-t{)}^2\mathrm{.}$$この不等式が $1-r\leqq t\leqq r$ のすべてで成り立つ必要がある。右辺は $t=1\mathrm{/}2$ で最小値 $1\mathrm{/}2$ をとり、$1\mathrm{/}2$ はこの区間に含まれる。よって必要十分条件は$$r^2\leqq \frac{1}{2}\mathrm{.}$$もとの範囲と合わせて$$\frac{1}{2}<r\leqq \frac{1}{\sqrt{2}}$$である。

(3)

3つの立体は合同なので、それぞれの体積は $S$ である。また$$\mathrm{Vol}(V_1\cap V_2)=\mathrm{Vol}(V_2\cap V_3)=T\mathrm{.}$$包除原理より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{Vol}(V)=}& {\displaystyle 3S-\mathrm{Vol}(V_1\cap V_2)-\mathrm{Vol}(V_2\cap V_3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -\mathrm{Vol}(V_1\cap V_3)+\mathrm{Vol}(V_1\cap V_2\cap V_3)\mathrm{.}}\end{array}$$(2) の条件のもとでは $V_1\cap V_3\subset V_2$ だから、最後の2項は打ち消し合う。したがって$$\mathrm{Vol}(V)=3S-2T\mathrm{.}$$(4)

$V_1$ は長さ1、半径 $r$ の円柱と、両端の半球2個からなる。よって$$S=\pi r^2+\frac{4}{3}\pi r^3\mathrm{.}$$次に $T$ を求める。点 $A$ を原点とし、$AO$ 方向を $u$ 軸、$AB$ 方向を $v$ 軸、それらに垂直な方向を $z$ 軸とする。$u,v\geqq 0$ の部分では$$v^2+z^2\leqq r^2,u^2+z^2\leqq r^2\mathrm{.}$$この部分の体積は、正方形 $0\leqq u,v\leqq r$ を対角線で二分して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 2{\int }_0^r{\int }_0^{u}2\sqrt{r^2-u^2}dvdu}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4{\int }_0^{r}u\sqrt{r^2-u^2}du=\frac{4}{3}{r}^3\mathrm{.}}\end{array}$$残る3象限では、共通部分は点 $A$ を中心とする半径 $r$ の球の4分の3に当たる。その体積は$$\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}\pi r^3=\pi r^3\mathrm{.}$$したがって$$T=(\pi +\frac{4}{3})r^3\mathrm{.}$$(3) に代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{Vol}(V)}& {\displaystyle =3(\pi r^2+\frac{4}{3}\pi r^3)-2(\pi +\frac{4}{3})r^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3\pi r^2+(2\pi -\frac{8}{3})r^3\mathrm{.}}\end{array}$$

各立体を線分への距離不等式で表し、(1)(2)を座標的に処理する。(4)の共通体積 $T$ は、2重積分ではなく $z$ を固定した断面積で求める。高さ $z$ で $h=\sqrt{r^2-z^2}$ とおくと、断面は第1象限の正方形と残り3象限の円板部分に分かれ、1変数積分だけで計算できる。

(1)

平面 $y=t$ から線分 $OA$ までの最短距離は $\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }$、線分 $BC$ までの最短距離は $\mathrm{\mid }1-t\mathrm{\mid }$ である。したがって$$\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }\leqq r,\mathrm{\mid }1-t\mathrm{\mid }\leqq r\mathrm{.}$$両方を満たす範囲は$$1-r\leqq t\leqq r\mathrm{.}$$断面は、それぞれ長さ1の水平線分、垂直線分を半径$$\sqrt{r^2-t^2},\sqrt{r^2-(1-t{)}^2}$$だけ太らせた図形である。

(2)

$0<t<1$ では、点 $(x,t,z)$ から線分 $AB$ までの距離は$$\sqrt{(x-1{)}^2+z^2}\mathrm{.}$$$V_1\cap V_3$ においてその2乗が最も大きくなる角では$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (x-1{)}^2+z^2}& {\displaystyle =\{r^2-(1-t{)}^2\}+\{r^2-t^2\}\mathrm{.}}\end{array}$$これが $r^2$ 以下である条件は$$r^2\leqq t^2+(1-t{)}^2\mathrm{.}$$右辺の区間 $[1-r,r]$ における最小値は $t=1\mathrm{/}2$ での $1\mathrm{/}2$ なので$$\frac{1}{2}<r\leqq \frac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{.}$$(3)

$V_1\cap V_3\subset V_2$ により$$V_1\cap V_3=V_1\cap V_2\cap V_3\mathrm{.}$$包除原理でこの2項が相殺されるから$$\mathrm{Vol}(V)=3S-2T\mathrm{.}$$(4)

1本の線分の半径 $r$ 近傍は、円柱と球1個分の端部をもつので$$S=\pi r^2+\frac{4}{3}\pi r^3\mathrm{.}$$$T$ を別の断面で求める。点 $A$ を原点とする $(u,v,z)$ 座標を解法1と同様にとり、$z$ を固定する。$$h=\sqrt{r^2-z^2}$$とおく。この断面で $u,v\geqq 0$ の部分は一辺 $h$ の正方形となる。残り3象限の部分は半径 $h$ の円板の4分の3となる。したがって断面積は$$h^2+\frac{3\pi }{4}{h}^2=(1+\frac{3\pi }{4})(r^2-z^2)\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle ={\int }_{-r}^r(1+\frac{3\pi }{4})(r^2-z^2)dz}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\pi +\frac{4}{3})r^3\mathrm{.}}\end{array}$$以上から$$\mathrm{Vol}(V)=3\pi r^2+(2\pi -\frac{8}{3})r^3\mathrm{.}$$