東京大学 2018年度理系数学第3問解答・解説

問題

放物線 $y = x^{2}$ のうち $- 1 ≦ x ≦ 1$ を満たす部分を $C$ とする。座標平面上の原点 $O$ と点 $A (1, 0)$ を考え、 $k > 0$ とする。

点 $P$ が $C$ 上を動き、点 $Q$ が線分 $O A$ 上を動くとき、

O R = \frac{1}{k} O P + k O Q

を満たす点 $R$ が動く領域の面積を $S (k)$ とする。

S (k), k \to + 0 lim S (k), k \to \infty lim S (k)

を求めよ。

出典：東京大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

解法1

$P = (t, t^{2})$ 、 $Q = (u, 0)$ とおくと $R = (t / k + k u, t^{2} / k)$ である。高さ $Y$ を固定し、 $s = k Y$ とおくと、 $t = \pm s$ から長さ $k$ の横区間が2本現れる。重なり条件 $s ≦ k^{2} /2$ と $0 ≦ s ≦ 1$ を比較すると、 $k = 2$ を境に領域の形が変わる。各高さの横幅を積分して面積を求める。

解法2

$t ≧ 0$ と $t ≦ 0$ から生じる2領域を別々に見る。各領域は横幅 $k$ 、高さ $1/ k$ なので面積1である。したがって全体の面積は2から重なりの面積を引けばよい。重なり幅を高さ $Y$ の式で表し、場合ごとに積分する。

解答

解法1

$P = (t, t^{2})$ 、 $Q = (u, 0)$ とおく。ただし

- 1 ≦ t ≦ 1, 0 ≦ u ≦ 1.

$R = (X, Y)$ とすると

X = \frac{t}{k} + k u, Y = \frac{t ^{2}}{k} .

高さ $Y$ を固定し、

s = k Y

とおくと $t = \pm s$ 、 $0 ≦ s ≦ 1$ である。したがって $X$ の範囲は

[- \frac{s}{k}, - \frac{s}{k} + k] \cup [\frac{s}{k}, \frac{s}{k} + k] .

2区間が重なる条件は

\frac{s}{k} ≦ - \frac{s}{k} + k ⟺ s ≦ \frac{k ^{2}}{2} .

まず $k ≧ 2$ とする。このとき $k^{2} /2 ≧ 1$ なので、全高さで2区間が重なる。横幅は

k + \frac{2 k Y}{k}

であるから、

S (k) = \int_{0}^{1/ k} (k + \frac{2 k Y}{k}) d Y = 1 + \frac{4}{3 k ^{2}} .

次に $0 < k < 2$ とする。2区間が重なるのは

0 ≦ Y ≦ \frac{k ^{3}}{4}

である。この範囲の横幅は $k + 2 k Y / k$ 、それより上では2区間が分かれ、横幅の和は $2 k$ となる。よって

S (k) = = \int_{0}^{k^{3} /4} (k + \frac{2 k Y}{k}) d Y + \int_{k^{3} /4}^{1/ k} 2 k d Y 2 - \frac{k ^{4}}{12} .

したがって

S (k) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 - \frac{k ^{4}}{12} 1 + \frac{4}{3 k ^{2}} (0 < k < 2), (k ≧ 2) .

$k = 2$ では両式とも $5/3$ となる。また

k \to + 0 lim S (k) = 2, k \to \infty lim S (k) = 1.

解法2

$t ≧ 0$ から生じる領域を $E_{+}$ 、 $t ≦ 0$ から生じる領域を $E_{-}$ とする。各高さで横幅は $k$ 、高さの範囲は $0 ≦ Y ≦ 1/ k$ だから

∣ E_{+} ∣ = ∣ E_{-} ∣ = \int_{0}^{1/ k} k d Y = 1.

よって

S (k) = 2 - ∣ E_{+} \cap E_{-} ∣.

$s = k Y$ とすると、重なり幅は

k - \frac{2 s}{k} = k - \frac{2 k Y}{k} .

$0 < k < 2$ では、重なりは $0 ≦ Y ≦ k^{3} /4$ に限られるので

∣ E_{+} \cap E_{-} ∣ = \int_{0}^{k^{3} /4} (k - \frac{2 k Y}{k}) d Y = \frac{k ^{4}}{12} .

したがって

S (k) = 2 - \frac{k ^{4}}{12} .

$k ≧ 2$ では全高さで重なるため

∣ E_{+} \cap E_{-} ∣ = \int_{0}^{1/ k} (k - \frac{2 k Y}{k}) d Y = 1 - \frac{4}{3 k ^{2}} .

よって

S (k) = 1 + \frac{4}{3 k ^{2}} .

以上から極限も

k \to + 0 lim S (k) = 2, k \to \infty lim S (k) = 1

と分かる。

東京大学 2018年度理系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

解法2

東京大学 2018年度
理系数学第3問