東京大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$P=(t,t^2)$、$Q=(u,0)$ とおく。ただし$$-1\leqq t\leqq 1,0\leqq u\leqq 1.$$$R=(X,Y)$ とすると$$X=\frac{t}{k}+ku,Y=\frac{t^2}{k}\mathrm{.}$$高さ $Y$ を固定し、$$s=\sqrt{kY}$$とおくと $t=\pm s$、$0\leqq s\leqq 1$ である。したがって $X$ の範囲は$$[-\frac{s}{k},-\frac{s}{k}+k]\cup [\frac{s}{k},\frac{s}{k}+k]\mathrm{.}$$2区間が重なる条件は$$\frac{s}{k}\leqq -\frac{s}{k}+k⟺s\leqq \frac{k^2}{2}\mathrm{.}$$まず $k\geqq \sqrt{2}$ とする。このとき $k^2\mathrm{/}2\geqq 1$ なので、全高さで2区間が重なる。横幅は$$k+\frac{2\sqrt{kY}}{k}$$であるから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(k)}& {\displaystyle ={\int }_0^{1\mathrm{/}k}(k+\frac{2\sqrt{kY}}{k})dY}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+\frac{4}{3k^2}\mathrm{.}}\end{array}$$次に $0<k<\sqrt{2}$ とする。2区間が重なるのは$$0\leqq Y\leqq \frac{k^3}{4}$$である。この範囲の横幅は $k+2\sqrt{kY}\mathrm{/}k$、それより上では2区間が分かれ、横幅の和は $2k$ となる。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(k)=}& {\displaystyle {\int }_0^{k^3\mathrm{/}4}(k+\frac{2\sqrt{kY}}{k})dY}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_{k^3\mathrm{/}4}^{1\mathrm{/}k}2kdY}\\ {\displaystyle =}& {\displaystyle 2-\frac{k^4}{12}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$S(k)=\{\begin{array}{ll}2-{\displaystyle \frac{k^4}{12}}& (0<k<\sqrt{2}),\\ 1+{\displaystyle \frac{4}{3k^2}}& (k\geqq \sqrt{2})\mathrm{.}\end{array}$$$k=\sqrt{2}$ では両式とも $5\mathrm{/}3$ となる。また$$\underset{k\to +0}{\lim }S(k)=2,\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }S(k)=1.$$

$t\geqq 0$ と $t\leqq 0$ から生じる2領域を別々に見る。各領域は横幅 $k$、高さ $1\mathrm{/}k$ なので面積1である。したがって全体の面積は2から重なりの面積を引けばよい。重なり幅を高さ $Y$ の式で表し、場合ごとに積分する。

$t\geqq 0$ から生じる領域を $E_{+}$、$t\leqq 0$ から生じる領域を $E_{-}$ とする。各高さで横幅は $k$、高さの範囲は $0\leqq Y\leqq 1\mathrm{/}k$ だから$$\mathrm{\mid }{E}_{+}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{E}_{-}\mathrm{\mid }={\int }_0^{1\mathrm{/}k}kdY=1.$$よって$$S(k)=2-\mathrm{\mid }{E}_{+}\cap E_{-}\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$$$s=\sqrt{kY}$$ とすると、重なり幅は$$k-\frac{2s}{k}=k-\frac{2\sqrt{kY}}{k}\mathrm{.}$$$0<k<\sqrt{2}$ では、重なりは $0\leqq Y\leqq k^3\mathrm{/}4$ に限られるので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }{E}_{+}\cap E_{-}\mathrm{\mid }}& {\displaystyle ={\int }_0^{k^3\mathrm{/}4}(k-\frac{2\sqrt{kY}}{k})dY}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{k^4}{12}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$S(k)=2-\frac{k^4}{12}\mathrm{.}$$$k\geqq \sqrt{2}$ では全高さで重なるため$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }{E}_{+}\cap E_{-}\mathrm{\mid }}& {\displaystyle ={\int }_0^{1\mathrm{/}k}(k-\frac{2\sqrt{kY}}{k})dY}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-\frac{4}{3k^2}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$S(k)=1+\frac{4}{3k^2}\mathrm{.}$$以上から極限も$$\underset{k\to +0}{\lim }S(k)=2,\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }S(k)=1$$と分かる。