東京大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $$f(x)=-\frac{\sqrt{2}}{4}{x}^2+4\sqrt{2}$$ であるから $$f^{\mathrm{\prime }}(t)=-\frac{\sqrt{2}}{2}t$$ である。

円$C_t$の中心を$(c,0)$とする。接点$(t,f(t))$における円の半径の傾きは $\frac{f(t)}{t-c}$ なので，円の接線の傾きは $-\frac{t-c}{f(t)}$ である。放物線と共通の接線を持つから，$$-\frac{t-c}{f(t)}=-\frac{\sqrt{2}}{2}t$$ すなわち $$t-c=\frac{\sqrt{2}}{2}tf(t)$$ である。ここで$$\frac{\sqrt{2}}{2}f(t)=\frac{\sqrt{2}}{2}(-\frac{\sqrt{2}}{4}{t}^2+4\sqrt{2})=4-\frac{t^2}{4}$$だから $$t-c=t(4-\frac{t^2}{4})$$ である。よって $$c(t)=t-t(4-\frac{t^2}{4})=\frac{t^3}{4}-3t$$ である。

半径の2乗は $$\{r(t){\}}^2=(t-c(t){)}^2+f(t{)}^2$$ である。上で得た$t-c(t)=t(4-\frac{t^2}{4})$と $$f(t)=\sqrt{2}(4-\frac{t^2}{4})$$ を用いると $$\{r(t){\}}^2=(t^2+2){(4-\frac{t^2}{4})}^2$$ である。展開して $$\{r(t){\}}^2=\frac{t^6}{16}-\frac{15t^4}{8}+12t^2+32$$ を得る。

(2)
点$(3,a)$が円$C_t$上にある条件は $$(3-c(t){)}^2+a^2=\{r(t){\}}^2$$ である。したがって $$a^2=\{r(t){\}}^2-(3-c(t){)}^2$$ である。右辺を$h(t)$とおくと，(1)の結果から整理して $$h(t)=\frac{-3t^4+12t^3+24t^2-144t+184}{8}$$ である。

この関数の増減を調べる。微分すると $$h^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{-12t^3+36t^2+48t-144}{8}=-\frac{3}{2}(t-3)(t-2)(t+2)$$ である。$0<t<4$では$t+2>0$なので，符号を調べると$$h(t)\text{は }(0,2)\text{で減少},(2,3)\text{で増加},(3,4)\text{で減少}$$する。

必要な値を計算すると $$h(2)=5,h(3)=\frac{49}{8},h(4)=-1$$ である。また $$f(3)=-\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot 9+4\sqrt{2}=\frac{7\sqrt{2}}{4}$$ より $$f(3{)}^2=\frac{49}{8}$$ である。条件$0<a<f(3)$は $$0<a^2<\frac{49}{8}$$ と同値である。

グラフの増減を用いて，方程式$a^2=h(t)$の解の個数を数える。

$0<a^2<5$のとき，$(0,2)$と$(2,3)$では$h(t)\geqq 5$なので解はない。一方，$(3,4)$では$h(t)$は$\frac{49}{8}$から$-1$まで減少するので，解は1個である。

$a^2=5$のとき，$t=2$が解であり，さらに$(3,4)$に1個の解がある。したがって解は2個である。

$5<a^2<\frac{49}{8}$のとき，$(0,2)$，$(2,3)$，$(3,4)$のそれぞれに1個ずつ解がある。したがって解は3個である。

以上より，求める個数は$$\{\begin{array}{ll}1& (0<a<\sqrt{5}),\\ 2& (a=\sqrt{5}),\\ 3& (\sqrt{5}<a<f(3))\end{array}$$である。

解の個数を決める $h(t)$ の概形は次のとおりである。

水平線 $y=a^2$ との交点を数えると，境界 $a^2=5$ のときだけ極小点 $t=2$ が接点となり，解の個数が2個になる。