東京大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $$0<x<\frac{\pi }{2}$$ で微分する。まず $$\frac{d}{dx}\{(\cos x)\log (\cos x)\}=-\sin x\log (\cos x)-\sin x$$ であり、また$$\frac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x,\frac{d}{dx}{\int }_0^x(\cos t)\log (\cos t)dt=(\cos x)\log (\cos x)$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =-\sin x\log (\cos x)-\sin x+\sin x+(\cos x)\log (\cos x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\cos x-\sin x)\log (\cos x)}\end{array}$$となる。 $$0<x<\frac{\pi }{2}$$ では $0<\cos x<1$ であるから $\log (\cos x)<0$ である。また$$\cos x-\sin x\{\begin{array}{ll}>0& (0<x<\frac{\pi }{4}),\\ =0& (x=\frac{\pi }{4}),\\ <0& (\frac{\pi }{4}<x<\frac{\pi }{2})\end{array}$$である。よって$$f^{\mathrm{\prime }}(x)<0(0<x<\frac{\pi }{4}),f^{\mathrm{\prime }}(x)>0(\frac{\pi }{4}<x<\frac{\pi }{2})$$である。

したがって $f(x)$ は $$x=\frac{\pi }{4}$$ まで減少し、その後増加する。ゆえに区間 $$0\leqq x<\frac{\pi }{2}$$ において最小値を持ち、その最小点は $$x=\frac{\pi }{4}$$ である。

(2)
(1)より最小値は $f\left(\frac{\pi }{4}\right)$ である。まず定積分を計算する。部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int \cos t\log (\cos t)dt}& {\displaystyle =\sin t\log (\cos t)-\int \sin t\cdot (-\tan t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sin t\log (\cos t)+\int \frac{{\sin }^{2}t}{\cos t}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sin t\log (\cos t)+\int (\sec t-\cos t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sin t\log (\cos t)+\log (\sec t+\tan t)-\sin t}\end{array}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}\cos t\log (\cos t)dt}& {\displaystyle =\frac{\sqrt{2}}{2}\log \frac{\sqrt{2}}{2}+\log (\sqrt{2}+1)-\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$また $$\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f\left(\frac{\pi }{4}\right)}& {\displaystyle =\frac{\sqrt{2}}{2}\log \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}+{\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}\cos t\log (\cos t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{2}\log \frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}+\log (\sqrt{2}+1)\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $$\log \frac{\sqrt{2}}{2}=\log (2^{-1\mathrm{/}2})=-\frac{1}{2}\log 2$$ なので$$f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\log (1+\sqrt{2})-\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\log 2$$である。

よって求める最小値は $\log (1+\sqrt{2})-\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\log 2$ である。

増減は主解と同じ微分で決めるが、最小値に現れる定積分は $u=\sin t$ と置き、$\log (1-u^2)=\log (1-u)+\log (1+u)$ に分けて直接積分する。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(\cos x-\sin x)\log (\cos x)\mathrm{.}$$$0<x<\pi \mathrm{/}2$ では $\log (\cos x)<0$ だから、$f^{\mathrm{\prime }}$ は $0<x<\pi \mathrm{/}4$ で負、$\pi \mathrm{/}4<x<\pi \mathrm{/}2$ で正である。よって $x=\pi \mathrm{/}4$ で最小値をもつ。

(2) $$I={\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}\cos t\log (\cos t)dt$$で $u=\sin t$ と置くと$$I=\frac{1}{2}{\int }_0^{1\mathrm{/}\sqrt{2}}\{\log (1-u)+\log (1+u)\}du\mathrm{.}$$原始関数は$$\frac{1}{2}\{-(1-u)\log (1-u)+(1+u)\log (1+u)-2u\}$$である。上下端を代入して整理すると$$I=\frac{1}{\sqrt{2}}\log \frac{1}{\sqrt{2}}+\log (1+\sqrt{2})-\frac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f\left(\frac{\pi }{4}\right)}& {\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}\log \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+I}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\log (1+\sqrt{2})-\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\log 2.}\end{array}$$これが最小値である。