東京大学 2022年度理系数学第1問解答・解説

問題

次の関数 $f (x)$ を考える。

f (x) = (cos x) lo g (cos x) - cos x + \int_{0}^{x} (cos t) lo g (cos t) d t (0 ≦ x < \frac{π}{2})

(1) $f (x)$ は区間 $0 ≦ x < \frac{π}{2}$ において最小値を持つことを示せ。

(2) $f (x)$ の区間 $0 ≦ x < \frac{π}{2}$ における最小値を求めよ。

出典：東京大学 2022年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

解法1

まず積分を含む関数をそのまま微分する。積の微分で出る $- sin x$ と、 $- cos x$ の微分で出る $+ sin x$ が打ち消し合い、 $f^{'} (x) = (cos x - sin x) lo g (cos x)$ まで簡約される。 $lo g (cos x) < 0$ と $cos x - sin x$ の符号から増減を決める。最小値は $x = π /4$ での値であり、残った定積分は部分積分と $\int sec t d t = lo g (sec t + tan t)$ で具体的に評価する。

解法2

増減は主解と同じ微分で決めるが、最小値に現れる定積分は $u = sin t$ と置き、 $lo g (1 - u^{2}) = lo g (1 - u) + lo g (1 + u)$ に分けて直接積分する。

解答

解法1

(1)

$0 < x < \frac{π}{2}$ で微分する。まず $\frac{d}{d x} {(cos x) lo g (cos x)} = - sin x lo g (cos x) - sin x$ であり、また

\frac{d}{d x} (- cos x) = sin x, \frac{d}{d x} \int_{0}^{x} (cos t) lo g (cos t) d t = (cos x) lo g (cos x)

である。したがって

f^{'} (x) = - sin x lo g (cos x) - sin x + sin x + (cos x) lo g (cos x) = (cos x - sin x) lo g (cos x)

となる。 $0 < x < \frac{π}{2}$ では $0 < cos x < 1$ であるから $lo g (cos x) < 0$ である。また

cos x - sin x ⎩ ⎨ ⎧ > 0 = 0 < 0 (0 < x < \frac{π}{4}), (x = \frac{π}{4}), (\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2})

である。よって

f^{'} (x) < 0 (0 < x < \frac{π}{4}), f^{'} (x) > 0 (\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2})

である。

したがって $f (x)$ は $x = \frac{π}{4}$ まで減少し、その後増加する。ゆえに区間 $0 ≦ x < \frac{π}{2}$ において最小値を持ち、その最小点は $x = \frac{π}{4}$ である。

(2)

(1)より最小値は $f (\frac{π}{4})$ である。まず定積分を計算する。部分積分により

\int cos t lo g (cos t) d t = sin t lo g (cos t) - \int sin t \cdot (- tan t) d t = sin t lo g (cos t) + \int \frac{sin ^{2} t}{cos t} d t = sin t lo g (cos t) + \int (sec t - cos t) d t = sin t lo g (cos t) + lo g (sec t + tan t) - sin t

である。したがって

\int_{0}^{π /4} cos t lo g (cos t) d t = \frac{2}{2} lo g \frac{2}{2} + lo g (2 + 1) - \frac{2}{2} .

また $cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ であるから

f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2} lo g \frac{2}{2} - \frac{2}{2} + \int_{0}^{π /4} cos t lo g (cos t) d t = 2 lo g \frac{2}{2} - 2 + lo g (2 + 1) .

ここで $lo g \frac{2}{2} = lo g (2^{- 1/2}) = - \frac{1}{2} lo g 2$ なので

f (\frac{π}{4}) = lo g (1 + 2) - 2 - \frac{2}{2} lo g 2

である。

よって求める最小値は $lo g (1 + 2) - 2 - \frac{2}{2} lo g 2$ である。

解法2

(1)

f^{'} (x) = (cos x - sin x) lo g (cos x) .

$0 < x < π /2$ では $lo g (cos x) < 0$ だから、 $f^{'}$ は $0 < x < π /4$ で負、 $π /4 < x < π /2$ で正である。よって $x = π /4$ で最小値をもつ。

(2)

I = \int_{0}^{π /4} cos t lo g (cos t) d t

で $u = sin t$ と置くと

I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1/ 2} {lo g (1 - u) + lo g (1 + u)} d u .

原始関数は

\frac{1}{2} {- (1 - u) lo g (1 - u) + (1 + u) lo g (1 + u) - 2 u}

である。上下端を代入して整理すると

I = \frac{1}{2} lo g \frac{1}{2} + lo g (1 + 2) - \frac{1}{2} .

したがって

f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} lo g \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + I = lo g (1 + 2) - 2 - \frac{2}{2} lo g 2.

これが最小値である。

東京大学 2022年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

東京大学 2022年度
理系数学第1問